Question

クマ🧸

数Ⅲです。合っているか教えてください。

8. 次の等式を満たす関数f(x) を求めよ。
f(x)=2x+ +f* f(1) dt
(15点)

e
xdx
la
2
dd
pa
), 6x.x
[2x²7²
70 x
16-2=14
8 k = S² f(x) da the
f(t)
24+k.
k=S₁² (2x + k) dr
[x² +kd] o
x + ka
ik-kx² = x²
K (1-x) = x².
x²
1-x
よって
2
f(x) = 22 + €²

Answer 1

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

典型的なミスです.[0→x]∫f(t)dt=kとおくのは誤りです.[0→x]∫f(t)dtはxを含む変数なので、定数kで置けません.
～～～～～～～～～～～～～～～
f(x)=2x＋[0→x]∫f(t)dt……（＊）
両辺微分して
f'(x)=2+f(x)……（＊＊）
f(x)=Ceˣ+b　((b,C)は定数)……（＊＊＊）とおくと、
f'(x)=Ceˣ……（＊＊＊＊）
（＊）よりf(0)=0なので（＊＊＊）に代入して、
b+C=0
f(0)=0と（＊＊）より
f'(0)=2　これを（＊＊＊＊）に代入して、C=2
∴b=-2　これらと（＊＊＊）より
f(x)=2eˣ－2