Question

Nana

なぜ2枚目の波線のようにak n+1＝やbk n+1＝の形にできるかがわかりません
教えてください🙇

第2問~第4問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。
第3問 (選択問題)(配点20)
花子さんと太郎さんが (2+√3)” について考えている。 ただし, nは自然数とする。
(1) 花子:(2+√3)=2+√3, (2+√3) ²=7+4√3 となり,
(2+√3)=| アイ + ウエ v3 になるね。
太郎:この調子だと, (2+√3)" は, an, bn を自然数として, an+bn√3の形
で表されそうだね。 このことを証明したいな。
花子:これは,数学的帰納法を用いて証明できそうだね。 やってみよう。
[証明]
「(2+√3)=an+bn√3 (an, on は自然数) の形で表される。」 ・①とする。
[1] n=1のとき
(2+√3)=2+√3 より, a1=2, b=1 とすれば①は成り立つ。
よって, n=1のとき①は成り立つ。
[2] =kのとき, ① が成り立つと仮定する。
カ
(2+√3)=(2+√3) L (2+√3)
Jan+
キ
ak+
M
O k-1
キ
ク
カ
ak+
10k, 6回
よって, n=
サ
のときも ① は成り立つ。
[1],[2]から,すべての自然数nに対して ① が成り立つことが示された。
[証明終]
9
キ
bk, an+
コ
ク
ケ
1 k
ク
br+(ak+ 5bR)√√3
bk は自然数であるから,
1=an+
ケ
bkとすれば ① は成り立つ。
サ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
k+1
(数学Ⅱ 新学
k+2
ご結

第3問 (1)(2+√3)=2+√3(2+√3)=7+4√3,
(2+√3)=アイ26 ウエ 15√3
「(2+√3)=an+bn√3 (an, bnは自然数) の形で表される。｣
として, ① を数学的帰納法を用いて証明する。
[1] n=1のとき
(2+√3)=2+√3 より, a1=2, b=1 とすれば①は成り立つ。
よって, n=1のとき①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定する。
(2+√3)+1=(2+√3)^2+√3)
(* 0, 0)
=(ax+bk√3)(2+√3)
=2ak+730k+(an+26k)√3
2ak+36k, ak+26k は自然数であるから, ak+1=2ak+36k, bk+1 = ak+2bk
とすれば①は成り立つ。 (②)
よって,n=k+1のときも ① は成り立つ。 (②)
[1], [2] から, すべての自然数nに対して ① が成り立つことが示された。
1 (2+√3)a
=(7+4√3)(2+√3)
=14+7√3 +8√3+12
=26+15√3
式としては
(2+√3)
=(2+√3)^-1(2+√3)
(2+√3)+2
=(2+√3)+1(2+√3)
も成り立つが、以降の空欄には適
さない。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

条件から(2+√3)ᵏ⁺¹＝aₖ₊₁+bₖ₊₁√3……①
n=kのときの仮定から
(2+√3)ᵏ⁺¹＝2aₖ+3bₖ＋(aₖ+2bₖ)√3……②
①②より
aₖ₊₁+bₖ₊₁√3＝2aₖ+3bₖ＋(aₖ+2bₖ)√3
∴aₖ₊₁＝2aₖ+3bₖ,bₖ₊₁＝aₖ+2bₖ

Nana

ありがとうございます！
なぜ最後から2番目の式から1番最後の式になるのですか？
返信遅れて申し訳ないですがまた答えてくださると嬉しいです🙇

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

以下,a,b,c,dを自然数とします.このとき
a+(b√3)＝c+(d√3)⇔a=cかつb=d……（＊）が成立します.
今回、a=aₖ₊₁,b=bₖ₊₁,c=2aₖ+3bₖ,d=aₖ+2bₖとおけば
aₖ₊₁＝2aₖ+3bₖ,bₖ₊₁＝aₖ+2bₖが分かります.
～～～～～～～～～～～～～～
（＊）の証明
(⇐)は明らかなので(⇒)を示します.一般性は失われないので、a≥c,b≥dとします.
a+(b√3)＝c+(d√3)
⇔(a-c)＋(b-d)√3=0
ここで、a-c≥0かつ(b-d)≥0より
a-c≥0かつ(b-d)√3≥0
これと(a-c)＋(b-d)√3=0より
a-c=0かつ(b-d)√3=0
⇔a-c=0かつb-d=0
⇔a=cかつb=d　□

Nana

ありがとうございます！！
テスト明日なので助かりました！