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条件から(2+√3)ᵏ⁺¹=aₖ₊₁+bₖ₊₁√3……①
n=kのときの仮定から
(2+√3)ᵏ⁺¹=2aₖ+3bₖ+(aₖ+2bₖ)√3……②
①②より
aₖ₊₁+bₖ₊₁√3=2aₖ+3bₖ+(aₖ+2bₖ)√3
∴aₖ₊₁=2aₖ+3bₖ,bₖ₊₁=aₖ+2bₖ
以下,a,b,c,dを自然数とします.このとき
a+(b√3)=c+(d√3)⇔a=cかつb=d……(*)が成立します.
今回、a=aₖ₊₁,b=bₖ₊₁,c=2aₖ+3bₖ,d=aₖ+2bₖとおけば
aₖ₊₁=2aₖ+3bₖ,bₖ₊₁=aₖ+2bₖが分かります.
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(*)の証明
(⇐)は明らかなので(⇒)を示します.一般性は失われないので、a≥c,b≥dとします.
a+(b√3)=c+(d√3)
⇔(a-c)+(b-d)√3=0
ここで、a-c≥0かつ(b-d)≥0より
a-c≥0かつ(b-d)√3≥0
これと(a-c)+(b-d)√3=0より
a-c=0かつ(b-d)√3=0
⇔a-c=0かつb-d=0
⇔a=cかつb=d □
ありがとうございます!!
テスト明日なので助かりました!
ありがとうございます!
なぜ最後から2番目の式から1番最後の式になるのですか?
返信遅れて申し訳ないですがまた答えてくださると嬉しいです🙇