Question

あや

(4)解説のマーカー部分がなぜこうなるのか分かりません。
自分は3枚目の写真のようにやったんですけど、なぜこのやり方が間違いなんですか？

423 次の関数の極値を求めよ。 また, そのグラフをかけ。
(1) y=2123x+2x-6x2+5
(2) y=x²+4x*
(3)
y=-3x+16x3-18x2
Q (4) y=x^-6x²-8x-3

また,
(4) y'=4x-12x-8=4(x-3x−2)
(2)=4(x+1)(x-2)
y'=0 とすると
x=-1, 2
の増減表は次のようになる。
-1
0
x
y'
y
...
-
1
0
-
V
2
0
極小
-27
+
1
よって、x=2で極小値-27 をとる。
また,グラフは[図] のようになる。

O
1418²=4x³-127-8
- 4(x²-3x-2)
yk0 どすると.
23-32-2-0
x = -(-3) = √9-4₁1-(-2)
2
3 ± 117
z
+3

Answer 1

カルロス

おそらく「二次方程式の解の公式」を使われたのだと思いますが、「二次方程式の解の公式」は二次方程式に対して使えるものです。

y'=0は三次方程式です。

あや

あ、ホントですね💦ありがとうございます。
x³ー3xー2の因数分解のやり方を教えて欲しいです🙇‍♀️

カルロス

まず流れをお話します。

三次以上の方程式を解く第一のステップは
『解を具体的に一つ見つける』
です。

「x³ー3xー2=0の解」
とは
「x³ー3xー2=0を満たすx」
のことです。

で、x³ー3xー2=0の解が具体的に一つ見つかったら、その後どうするかですが

その発見した解をαとします。そうすると、x³ー3xー2は

x³ー3xー2=(x-α)(x²+ax+b)

のように変形できるはずです。俗に言う「因数定理」でございます。

そして、このように変形できましたら、あとは(x²+ax+b)を処理していただいて終わりとなります。

で、ファーストステップ＝解を具体的に一つ見つけるにはどうするかですが

定数項に注目します。

この問題では-2です。

なのでx³ー3xー2を
x³ー3xー2=(x-α)(x²+ax+b)
の形にしたとき

(x-1)(x²+ax+2)
または
(x+1)(x²+ax-2)
または
(x-2)(x²+ax+1)
または
(x+2)(x²+ax-1)

のいずれかになることが予想されます。つまりx³ー3xー2=0の解を一つ見つけたかったですが、候補として

1, -1, 2, -2

の四つが浮上したわけです。

で、ここからは地味ではありますが、実際にこれらの候補のなかでどれが本当に解になってるかチェックします。

まず1ですが

1³-3×1-2 =1-3-2≠0

なので解ではありません。

次に、-1ですが

(-1)³ -3×(-1)-2 = -1+3-2=0

なので、x=-1はx³ー3xー2=0の解です。したがいましてx³ー3xー2は

x³ー3xー2=(x+1)(x²+ax+b)

の形になるわけですが、定数項に注目すれば

x³ー3xー2=(x+1)(x²+ax-2)

になるはずでございます。

で、右辺のaを特定したいですが、左辺と右辺で係数を比較します。

右辺のx²の係数はa+1、左辺のx²の係数は0

なので

a+1=0, すなわちa=-1

です。したがって

x³ー3xー2=(x+1)(x²-x-2)

です。あとは(x²-x-2) を普通に処理していただけばOKです。

一応、解説サイト貼っときます。
https://manabitimes.jp/math/1251