Question

ゆー

数2の微積の問題です
(1)の別解が分からないので教えて欲しいのですが、h(p)=0だからx-pで割り切れるのは分かるのですが、なぜ(x-p)²でも割り切れるのでしょうか？

103.2つの曲線 y=x-xとy=x²-a (a>0) が1点Pを通り,Pにお
いて共通の接線をもっている.
△ (1) α の値を求めよ .
001
(2) 2つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ.
.1
*
(s
[s1
F (京都大)

178
「解説
(1)
2つの整式f(x), g(x) に対し, h(x)=f(x)-g(x) とおくとき,
2曲線 y=f(x), y=g(x) がx=p で共通の接線をもつ
⇔f(p)=g(p) かつ f'(p) = g'(p)
⇒h(p)=h'(p)=0
⇔h(x) は(x-p)^ で割り切れる
が成り立つ.
これを利用してαを求めることもできる.
[別解]
Pのx座標をpとおくと
は (x-p)^2で割り切れるから,
と表される.
両辺の係数を比べて、
① ② より,
(x³ − x) — (x² − a) = (x−p)²(x−q)
(x³− x) — (x² − a)
1/1/23の のとき,g=
a=-
5
p2+2p (-2p+1)=-1.
3p2-2p-1=0.
(3p+1) (p-1)=0.
3
011-08
5
27
TS
-2p-g=-1,
p2+2pg=-1,
-p²q=a.
p=_1
3
となるから, ③より,
a>0 より求めるaの値は,
1-x=y x-5-3
p=1のとき,g=-1 となるから, ③より,
a=1 (a>0 を満たす).
a=1.
10.31.0
(a>0 を満たさない).
(2)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

kkk

f(x)とg(x)がx=pで接しているということはf(x)=g(x)が重解pを持つからです。(xの二次方程式として整理すると判別式=0)

ゆー

なるほどありがとうございます！

Answer 2

カルロス

解答の冒頭にある
(x³-x)-(x²-a)
というのは
f(x)-g(x)
ですよね。

で、上の四角で囲ってあるところに

『…h(x) = f(x)-g(x)とおくとき、
…
h(p) = h'(p) = 0
⇔ h(x)は（x-p）²で割り切れる』

とありますよね。これを使ってます。この問題で使ってるのは⇒です。「h(p) = h'(p) = 0⇒ h(x)は(x-p)²で割り切れる」を使ってます。

なぜ⇒が成り立つかですが、仰るとおりh(p)=0なのでh(x)はx-pで割り切れるので

h(x)= i(x) × (x-p)

のようにかけるわけです。で、これを微分すると

h'(x) = i'(x) × (x-p) + i(x)

となります。なので

h'(p) = i(p)

となるですが、これは仮定より０（h'(p)=0）なので

i(p)=0

です。したがって

i(x) = j(x) × (x-p)

のようにかけるわけです。なので

h(x)= j(x) × (x-p)²

のようなかたちになり、h(x)は(x-p)2で割り切れるというわけです。

不明な点がありましたらコメントで仰っていただければと思います。

ゆー

ありがとうございます！！