Question

Hi（受験生）

２番です。増減表いらないような気がするのですが、なぜ必要なのですか？

基礎問
186
103 絶対値のついた関数の積分 (II)
f(x)=fle'-xldt (1<x<e) とするとき,次の問いに答えよ。
(1) f(x) を求めよ.
(2) f(x) を最小にするxの値を求めよ.
定積分する関数には、xとtの2文字が含まれています。 このよう
|精講
なとき,「どちらの文字で積分するのか?」ということが第1のポイ
ントですが,これは「dt」を見るとわかります.すなわち,これは
「tで積分しなさい」といっているのです.だから,積分を実行するとtはい
なくなって、だけが残ることになります. 左辺が 「f(x)」 とかいてあるのは
このためです.
第2のポイントは,積分の方法です.基本的には絶対値がついているので
「はずす」ことになりますが, 102 の横に,
ⅡI. グラフを利用する
とあります. 今回はこれを利用します. すなわち, y=et と y=xのグラフ
を利用しますが、問題は, y=xのグラフです。 「原点を通り,傾き1の直線で
しょ?」 と思った人は要注意です.
解答
(1) 1<x<e だから, 0≦t≦1 において
e = x をみたすtが存在し, そのときの
値は t=10g (右図参照)
:: le ²-21= [ -=-e²-2
-(et-x) (0≤t≤log.x)
(log.x≤t≤1)
よって,
log.x
ƒ(x)= − 1³² (e²− x) dt+ ſ (e²-x)dt
logr
log.x
xt
10
+
=-2(elogz-xclogx)+1+e-x
=2xlogx-3x+e+1 (elog²=x より )
logr
Ay
X
O
log x
ry=et
y=x

注 直線y=x が 「原点を通る傾き1の直線」といえるのは,横軸が
軸のときです。今回は横軸は t軸です.だから zy平面上の直線
IC
y=a と同じように,ヨコ型直線になります.
ということは演習問題103のy=sinæもヨコ型直線です.
(2) f'(x)=2logx+2-3=2log.x-1
log.x=1/1/2
<e<e だから、 増減は表の
ように.
よって, f(x) を最小にする
rel, すなわち, √e
f'(x)=0 より
考
ポイント
:: x=ez
IC
f'(x)
f(x)
横軸がt軸のとき, y=x は
t軸に平行な直線を表す
1
曲線 y=e と3つの直線y=x,
t=0, t=1 で囲まれた面積
...
を表しています. 一般的にいえば,
Solf(x)-g(x)dx (a < b)は曲線 y=f(x),
y=g(x),直線x=a, x=b で囲まれた面積
を表す
ということです(右図参照).
-
1
12
このあと学ぶ「面積」 という観点から f(x) をみると,
f(x) は
20
最小
ミ
+
X
187
e
y=f(x)
-y=g(x)

21f(x)=2logx+2-3
2logx-1
f(x)=0のとき、210gx=/
logex=1
Je
増減表は、
x
for
foy
Jel
0 +
A
e
したがって.
tal が最大になるこの値は…
toy

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

桜

増減表書かないと変化が分からないでしょう。f'(x)＝0の所が常に最小値だと思ってますか？