Question

さこ

青チャの例題です。
答えを求めることはできても仕組みがよくわかってない気がします。。
深く理解している方がいたら教えてください🙏

黄色の部分の式はどういう式なんでしょう。。
これは何を表していますか？

【C上の点における接線】【指定された点を通る】という二つの条件を満たした条件式という解釈で合っていますか？

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00000
演習 例題2243本の接線が引けるための条件 (2)
f(x)=x-xとし, 関数 y=f(x) のグラフを曲線C とする。点(u, b) を通る
線Cの接線が3本存在するためのu, vの満たすべき条件を求めよ。 また、
条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。
指針 前ページの演習例題223と考え方は同様である。
① 曲線C上の点 (t, f(t)) における接線の方程式を求める。
解答
f'(x)=3x2-1 であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t))
とすると、接線の方程式は
y−(t³-t)=(3t²—1)(x−t)
すなわち
y=(3t2-1)x-2t3
この接線が点 (u, v) を通るとすると
よって
2t3-3ut'+u+v=0
よって
②1 で求めた接線が, 点 (u, v) を通ることから,t の3次方程式を導く。
③3 ② の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を,u, ひの式で表す。
******
-u³+u+v<0
√2+v < 0
-u³+u+v>0
g(0)g(u) < 0 から
(u+v)(-u³+u+v) <0
②でu=0 とすると v<0 となり,これを満たす実数は存在
しない。 ゆえに,条件 u≠0は②に含まれるから, 求める条件
は ② である。
[u+v>0
②から
ひ
または
=(3t2-1) u-2t3
3次関数のグラフでは、 接点が異なれば接線も異なる。
ゆえに,点 (u, v) を通るCの接線が3本存在するための条件
は,t の3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつことである。
よって, g(t)=2t3-3ut'+u+vとすると, g(t) は極値をもち, p.337 の例題 219 参照。
極大値と極小値が異符号となる。
g'(t)=6t2-6ut=6t(t-u) であるから
u=0 かつg(0)g(x)<0
[v>-u
ひ<-u
または
\v<u³_u
[v>u³_u
したがって, 点 (u, v) の存在範囲は
右の図の斜線部分。 境界線を含まない。
√3
3
VA
O
2√3
9
基本 219, 演習 223
2√3
9
3
◄y-f(t)= f'(t)(x-t)
前ページの検討 参照。
g'(t)=0 とすると
t=0, u
u=0のとき, t=0,uの
うち一方で極大 他方で
小となる。
|v=uuのとき
v=3u²-1
v=0 とすると
√3
3
u=±
u=±
√√3 のとき
3
v=F (複号同順
2√3
9
直線-uは曲線
原点Oにおける接続

微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽん

接線の式は、
y＝(3t^2−1)x−2t^3
接線は(u,v)を通る→接線の式にx＝u,y＝vを代入した式
v＝(3t^2−1)u−2t^3を成立させるu,v,tが存在することとなります。
そして、接線は"3本"存在するので、3本の接線は全て(u,v)を通る→v＝(3t^2−1)u−2t^3を満たすtが3つ存在することと言い換えることが出来ます。
そして、tに関する3次式にまとめているといった流れです。

さこ

コメントありがとうございます。
流れはよく理解できました！
最初私は『【点(u,v)を通る】という条件を追加したら一次式から三次式になっちゃった。。。』と混乱していたのですが、『この作業は条件を追加して新しく関係式を作っている』と考えたらいいでしょうか？

ぽん

点(u,v)を定点と考えるとイメージしやすいかと思います。定点(u,v)は変化せずに存在するので、定数扱いします。tは定まっていないため、tに関する式の形で考えるという展開が"一次式から三次式になった"疑問点かもしれません。"条件を追加する"といった表現に私自身、理解及ばず申し訳ありません。

さこ

いえいえ！
"条件を追加する"という私の表現は少し分かりにくかったですね。

今あなたのコメントを読んでよく理解できました！
ありがとうございます！！

Answer 2

記述における⇔大事だよね!

これ何気に3次関数に接する接線は、接点が異なると接線はも異なるから、題意を満たすとき①は3つの異なる解をもつということも大事だから、記述するときに抑えておくといいと思いますよ〜(こんなこと既に抑え済みだったら、ごめんなさい)

さこ

コメントありがとうございます！それも大切ですよね。
いちよ記述するときはそのことも書くようにしています。

そうなる理由は三次関数の極値が【存在しない】または【極大値と極小値をもつ】の2パターンしかないからグラフの形的に接線が引けそうにない。
と考えているのですがそれでよさそうですか🧐

記述における⇔大事だよね!

自分がもしその理由を記述するのだったら、f(x)=px^3+qx^2+rx+s(p≠0)として、接点のx座標がα,β(α≠β)であるとき、f(x)-(ax+b)=p(x-α)^2(x-β)^2というxの恒等式が立てられるが、右辺がxの4次式となり、矛盾が生じるので、3次関数の二重接線は、存在しないと書くと決めています。個人的には図だけだとイメージしにくいと思います(個人的に三次関数の接線の本数が、グラフだけだと、どうしても上手くかけない時があります)。

さこ

なるほど理解が深まりました！
ありがとうございます🙇‍♂️