Question

みみさん。

青いところの条件がなぜないといけないのかわからないです。どう言う理由でこの条件があるのですか？赤いところの条件だけじゃ等号成立としてはダメなのですか？

基本例題 31 (相加平均) (相乗平均) の利用
(1)
a,b は正の数とする。 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 また、等号が成
り立つのはどのようなときか。
(12/12/24(2) (a+1/2)(6+1/4)29
解答
2 jp.48 基本事項 (5) 「重要 32」
指針 大小比較は差を作るの方針で証明してもよいが、次の相加平均と相乗平均の大小関係
を利用することもできる。
a+b
a+
別解
a
a00
≧√ab
等号は α=b のとき成り立つ
(2) 左辺を展開すると, (1) と似た部分が現れ、同様に処理できる。なお,a+1/22 9
46
6+1=2√/
b+
a
(1) 40,40であるから, (相加平均) (相乗平均)により
a
a+2²√/a.10
4
011(e
(a+4)-4=a²
として, 辺々掛け合わせると,うまくいかない (p.56
よって
4
よって
a+= ≥4
a
等号が成り立つのはa=4 すなわちa=2のとき。
a
(
の形がよく使われる。
a+b≧2√ab
Mant
a²+4-4a_ (a−2)²
a
a
a+ 1 ≥4
a
=2+2=4¹35
od 21 ab + 2√/ab.
4.
ab
参照
)。
かない(p.56参照)。
PORAZILE
したがって
等号が成り立つのは,α=2のときである。
JEOBRĄZAN24 $5
(2) (左辺)=ab+4+1+ =ab+ -+5
ab
abNP
ab>0, ->0であるから (相加平均) (相乗平均) により
4
ab
[@^<4> #&&
4
ab
4
ab
MO
M
(a + 1)(b + ²) = ab +- +524+5=9T
4
ab
*********
=2+2=41-60 |
詞 do S
[検討]
文字が正和に対し、積が定
数などの特徴をもつとき、
相加平均) (相乗平均)が
よく使われる。
4
Aa a=1 から a=4
a
a>0であるから a=2
これは次のように考えても
よい｡
等号が成り立つとき
a=²a+
a+
A
a
ゆえに
よって
等号が成り立つのは ab= すなわちab=2のとき。 Mugh
14074 098
ゆえに
a+a=4
よって
a=2
(2) の場合も、 等号が成り立
つとき
ab=
26-1 かつ abt.
ab
ab+ab=4
ab=2
4
ab
1章
6 不等式の証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

さい先生

青マルの条件式の方が、相加平均、相乗平均の関係を使ったときの等号成立条件になりますよ。
このことを踏まえた上で言えば、青マル部分が無くって赤マルのところだけを等号成立条件にしてもかまいません。
若干、計算が面倒になるくらいでしょうか。

2つ条件が並べてある理由については、等号成立条件は必ず2式の共通解になりますから、青マルの式を赤マルの式に代入すれば、あっという間に等号成立条件が出てくるという利点があるということです。

みみさん。

なるほど！！写真の指針にもあるようにそもそも相加相乗平均の定義みたいなのとしてa＝bがあるから相加相乗平均の大小関係を使ったのならば最後はその定義を利用して等号成立を求めようみたいな感じの意味ですね！！(語彙力拙くてすみません💦青丸の部分の話です)

さい先生

そういうことです。
このような選択肢があると、等号成立条件を求める際に、臨機応変に計算しやすくなります。

みみさん。

ありがとうございます！！！