Question

ゆい

赤の波線の理由が分かりません。場合分けをするのは分かっているのですが（１）のD＝0というのがよくわかりません。解説お願いします！

PRACTICE･・･･ 64 ③
3次方程式x+(a−2)x4q=0が2重解をもつように実数の定数αの値を定め、
[東北学院大 ]
そのときの解をすべて求めよ。

の部分の断り書きは
4x+
2x
2x+
b
b
-2)x+2(a+2)
-6)x-2a+b-4
ると x-1
+2) にa=-3
の断り書きは
PR
364
3次方程式x+(a-2)x2-4a=0が2重解をもつように実数の定数aの値を定め、そのときの
解をすべて求めよ。
[ 東北学院大 ]
f(x)=x3+(a-2)x2-4aとすると
f(2)=2+(a-2)・22-4a=0
よって, f(x) は x-2 を因数にもつから
f(x)=(x-2)(x2+ax+2a)
ゆえに, 方程式は
(x-2)(x2+ax+2a) = 0
したがって
x-2=0 または x2+ax+2a=0
この3次方程式が2重解をもつ条件は,次の [1] または [2] が
成り立つことである。
[1] x2 + ax +2α = 0 が2でない重解をもつ。
判別式をDとすると
かつ 2°+α・2+2a≠0
D=9.
D=a²-8a= a(a−8)
D=0 とすると
a=0, 8
これは a +1 ±0 を満たす。
α = 0 のとき, 重解は
x=0
α=8のとき, 重解は x=-4
[2] x2+ax+2a=0の1つの解が2, 他の解が2でない。
x=2 が解であるから
22+α・2+2a=0
よって
a +1 = 0 すなわち α = -1
1 a-2 0 -4a|2
2 2a
4a
a 2a
0
1
別解 αについて整理す
ると
x-2x2+(x2-4)α
=x2(x-2)
+(x+2)(x-2)a
=(x-2)(x2+ax+2a)
• 4+4a≠0 すなわち
a+1=0
2次方程式
ax²+bx+c=0が重解
をもつとき,その重解は
x==
b
2a
3実数
冥夜ま
複

２重解をもつ条件

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

重解を持つ→判別式=0という考え方を数1で習いませんでしたでしょうか。
2次方程式において、重解(解が1つのみ)のとき、解の公式のルートの中(b²-4ac)が0になれば、解が1つになります。
それを利用しています。

ゆい

ありがとうございます！

ゆい

a＝0のとき、重解はx＝0
a＝8のとき、重解はx＝-4はどうして分かるのですか？

きらうる

x²+ax+2a=0
にそれぞれ代入してみましょう