Question

Noah

n^2-2n-8が素数となるような整数nの値を求めよ。　

という問題の解法を教えて頂きたいです。

ちなみ答えはn＝–3，5 です。

整数の性質

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

John Smith

f(n):=n²-2n-8=(n-1)²-9>0よりn≦-3,n≧5
実験
n=5,f(5)=7∈ℙ
n=6,f(6)=16∉ℙ
n=7,f(7)=27∉ℙ
…n≧6は条件を適さない？
n=-3,f(-3)=7∈ℙ
n=-4,f(-4)=16∉ℙ
以下上と同じ結果
…n≦-4は条件を適さない？
→数学的帰納法で示す
解答)
n≦-3,n≧5であり,f(-3),f(5)は共に素数である.
以下n≦-4,n≧5の時はf(n)が素数でないことを示す.
n≦-4であるnはn=-3-k(k∈ℕ)として
n≧6であるnはn=5+kとして表すことができる.
f(-3-k)=f(5+k)であるから
以下n≧6のみ考えれば十分.
n=ℓ(ℓは6以上の自然数)の時
f(ℓ)=(ℓ-1)²-9=(ℓ-4)(ℓ+2)
ℓ≧6よりℓ-4≧2
したがってf(ℓ)は少なくとも2個の素因数を持つので
素数でない.
よってf(n)が素数となる整数nは
n=-3,5のみ //

もし質問や、間違えている所がありましたらコメントよろしくお願いします！🙇‍♂️

John Smith

下書きの時に書いた
数学的帰納法で示す
が残ってしまいました🙇‍♂️
申し訳ありません💦

Answer 2

きょん

n^2-2n-8=(n-4)(n+2)

素数を積の形とした時、どちらかの数の絶対値は1となる。

|n-4|=1を解くとn=3,5
この時の値を与式に代入すると、それぞれ-5,7となる。素数は正の数であるため、n=3は不適。

|n+2|=1を解くとn=-3,-1
この時の値を与式に代入すると、それぞれ7,-5となる。素数は正の数であるため、n=-1は不適。

したがって、n=-3,5