Question

イソ

これの解き方教えてください🙇‍♀️

Z1 座標平面上に円C:x2+y^+2kx+k²-8=0 と直線1: x+y-6=0 がある。
またに垂直で点A(3,5) を通る直線をとする。 ただし, kは定数とする。 (20点)
(1) 直線の方程式を求めよ。
(2) Cがm に接するとき, kの値を求めよ。 また、 接点の座標を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぷりん

(1)

直線mは、直線l に垂直とあるので、
mの傾きの値とlの傾きの値の積 がー1になる。
lの傾きは、y ＝ ーx＋6と書き換えると、
ー1であるので、
(mの傾きの値) × (ー1) ＝ ー1 より、
mの傾きの値は、1であるとわかる。

よって、直線mの方程式を
y ＝ x ＋ C (Cは実数) とおく。
直線mは、点A(3、5)を通るので、
x＝3、y＝5をy ＝ x ＋ Cに代入すると、
5 ＝ 3 ＋C
よって、C ＝ 2 とわかるので、
求める直線mの方程式は、
y ＝ x ＋2

ぷりん

(2)

(1)で求めた直線mの方程式を円Cの方程式に
代入すると、
x² ＋ y²＋2kx ＋ k²ー8
＝ x² ＋ (x＋2)² ＋ 2kx ＋ k² ー 8
＝ x² ＋ x²＋4x＋4＋2kx＋k²ー8
＝2x² ＋(4＋2k)x ＋(k²ー4)
＝0

2x² ＋(4＋2k)x ＋(k²ー4)＝0･･･①
の判別式をDとおくと、
Cがmに接するので、D＝ 0となる。
よって、
D/4 ＝ (2＋k)²ー2(k²ー4)
＝ k²＋4k＋4ー2k²＋8
＝ーk²＋4k＋12 ＝ 0
よって、両辺にー1をかけると、
k²ー4kー12 ＝ 0
(kー6)(k＋2) ＝ 0
k＝6、ー2

よって、求めるkの値は、k ＝ 6、ー2