青チャの2次方程式の解の存在範囲に関する質問です！
例題50の⑴と⑵で判別式の条件があるか無いか変わる理由がまだよくわからないです。
文章が長くて申し訳ないのですが私が考えていることをできるだけ細かく説明してみます。
青い部分について:
【D>=0】は【虚数解をもたない条件】ということですが、そもそも虚数というのは正,0,負に分類することができず大小関係は存在しませんよね？🤔
例えばα=5+i、β=5−iだとすると二つとも虚数解です。
でも【(α-1)+(β-1)>0】かつ【(α-1)(β-1)>0】という条件を満たしてしまいます。
しかしこの時、上に記述した理由から【5+i>1】【5−i>1】は成立できない。
だから『二つの解が1より大きいことを成立させる』には、『この二つの解が実数である必要がある』ということになる。
そのため【D>=0】という条件を追加している。
と私は解釈しています。
ここで黄色い部分について:
『1つの解が３より大きく、もう片方が3より小さい』という問題ですが、ここには判別式の条件がありません。
しかし、例えばα=5i,β=5i+6を代入すると
【(α-3)(β-3)<0】という式が成り立ってしまいませんか？？
両方虚数解だから3との大小関係は存在しないはずなのに『答えに虚数解をもつ可能性がある範囲が含まれている』ように感じてしまいます。
どなたか私の考え方で間違っていることをわかりやすく教えてください🙏
✨ ベストアンサー ✨
例えばX²－(α＋β)X＋αβ＝0
の2解がα、βであり。(解と係数との関係の逆発想)
判別式D＝(α＋β)²－4αβとなるので
2解が正負であるなら
条件はαβ＜0でさえあれば、D＞0となります。
つまり、D＞0の条件はもうαβ＜0に含まれてるわけです。
ちなみにαとβは二次方程式の階なので
α＝5＋i β＝5iとはなりえず
共役複素数となるため
α＝5－i β＝5＋iなどで代入してみてみると
αβ＞0となります、
ここからも先程の条件で問題ないことも確認できると思います。
これは(α－3)(β－3)＜0の条件でも同様のことが言えますので、最もシンプルな形で理屈をおさえておいてくださいね。
また、青については
2条件では共役複素数でも成り立ってしまうので、D＞0で実数解と釘をさしておく必要があります｡､
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なるほど！理解できました。ありがとうございます！