Question

さこ

どなたか分かりやすく説明してください🙏
青チャの二項定理を利用して等式を証明する問題です！練習5の⑵⑶が解説をみても何をしてるのかよくわからないです！

練習 次の等式が成り立つことを証明せよ。
②5
nC1 C2
(1) nCo-
·+·
2
22
| ² C² = 1/2/20
2"
2²
+ (−1)n nСn
(2) n が奇数のとき nCo+nC2+ ・+nCn-1=nC1+nC3+.
•+nCn=2"-1
(3)nが偶数のとき Co+nC2+......+nCn=nC1+nCg+ +nCn-1=27-1
HINT (1+x)" の展開式を利用して証明する。
(2)(3) 1+x) の展開式において, x=1 を代入した等式とx=-1 を代入した等式を組み合
わせる。

4 数学Ⅱ
(1+x)”=nCo+nC₁x+ · · · · · · +nCr x² +
....
..+nCrx+......+nCnxn
とする。
(1) ① の等式において, x=
n
n
(1 - 1) * = C₁ + C₁ (-1/2) + C₂ ( 12 ) ² + + C₂ ( - 1/2 )
1 +ace(-1/2)+..
₁
2
n
ゆえに Co-1+2+(-1) 20120973 - 12/201
nСn
=
22
2n 2n
(2) ① の等式において, x=1 を代入すると
② +③ から
② ③ から
したがって
-
1/12 を代入すると
2"=nCo+nC1+nC2+......+nCn
48
①の等式において,x=-1 を代入すると
0=nCo-nC1+nC2-nCn
よって. ② + ④ から
②-④ から
......
......
2"=2(nC1+nC3+......+nCn)
08
②
2n=2(nCo+nC₂+...+nCn-₁)=(√)
......
(3)
nCo+nC2+......+nCn-1=nC1+nC3+......+nCz=2n-1
(3) ①の等式において, x=-1を代入すると
0=nCo-nC1+nC2-….....+nCn
as
SI-pl
SD
(4)
①
2"=2(zCo+nC2+......+nCn)
2²=2(nC₁+nC3+·.·.·· + nСn-1)
したがって
nCo+nC₂2 + +nCn=nC₁+nC3+······+nCn-1=2″-1
F₁

二項定理

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

(2)は、代入して②，③を作った後

　(②＋③)×2⁻¹　と　(②－③)×2⁻¹　で、出来上がります

　(②＋③)×2⁻¹＝(②－③)×2⁻¹＝2^(n-1)

(3)も同様です

さこ

コメントありがとうございます。
まだ解答も読んでもxに1や−1を代入して何をしようとしてるのかよく分かりません。。
それがわかると嬉しいです！

mo1

＞まだ解答も読んでもxに1や−1を代入して何をしようとしてるのかよく分かりません。それがわかると嬉しいです！

●「代入して、足したり引いたりして、式変形すれば、証明したい式になる」というだけです

　まさに「何をしようとしているのか」の部分は、

　「証明したい式になるように変形しようとしている」ということです。

●変な例えですが、人の絵を描こうとしたら、

　「人の絵になるように、手や足や顔などを描く」のと一緒です

　「人の絵を描いて何をしようとしているのか」という質問ではないことを祈ります。

さこ

なるほど！理解できました！ありがとうございます。