Question

あ&

完全順列の話なんですけど、樹形図のは理解できるんですけど検討っていうところのW(2)=1のところからわからないです　n=2のとき2、1の1通りしかないからの意味がわからないです

[武庫川女子大]
重要 15 完全順列番目の数が
指 5人 1,2,3,4,5とし, それぞれの人のあて名を書いた封筒を ①, ②, ③, ④,⑤
封筒を作成した。 招待状を全部間違った封筒に入れる方法は何通りあるか
に招待状を送るため, あて名を書いた招待状と, それを入れるあて名を書い
よって, 1,2,3,4,5の5人を1列に並べたとき, k番目がんでない順列の数を求め
招待状を [2], 33, 4, 55 とすると, 問題の条件は≠(k=1, 2,3,45)
ればよい｡
1番目は1でない。
5人を1,2,3,4,5とすると,求める場合の数は、5人を
解答1列に並べた順列のうち、k番目がk(k=1,2,3,4,5)
でないものの個数に等しい。
1-5-4
1番目が2のとき、条件を満たす順列は,次の11 通り。
参考樹形図を作る際は、
2-3
4-5-1
-4-5-3
例えば
1-4
2-14
5-3-4
1-3-4
2-1<
- 5-3
-3
25
-5-3-4
4<
・3- 1
のように書き, ○内の数字
3-1
1番目が3, 4,5のときも条件を満たす順列は,同様に 11 の下にその数字を並べない
ようにするとよい。
通りずつある。
11×4=44 (通り)
よって 求める方法の数は
完全順列(次ページの参考事項も参照)
検討
1~nのn個の数字を1列に並べた順列のうち、どのk番目の数字もんでないものを急
全順列」という。完全順列の総数を調べるには,上の解答のように樹形図をかいてもよい。
しかし,nの値が大きくなると,樹形図をかくのは大変。 そこで, n≧4のときの完全順列
については,1つ前や2つ前の結果を利用して調べてみよう。
In個の数字の順列①, 2,
の完全順列の総数を W (n) で表す。
2
n=1のとき W(1)=0
n=2のとき, ②1の1通りしかないから W (2)=1
n=3のとき, ②③1, ③1 2 の2通りあるから
n=4のとき,まず,1, 2 ③の3個の数字の順列の最後に 4 を並べる。
W(3)=2
[1]
3個の数字の順列が 完全順列であるときと1~3番目の数字を入れ替える。
例えば,②③①④ において、④と①を入れ替える
[2] k=1,2,3 とする。 3個の数字の順列で1つだけ番目のものがEであるとき
②③4①
(残る2個の数字は完全順列になっている)
完全順列
例えば,②①③④ において、④と③を入れ替えると
[1] の場合は3通りの入れ替え方があり, [2] の場合も3通りの入れ替え方がある。
と④を入れ替える。
よって
W (4)=3×W(3) +3×W(2) = 3×2+3×1=9
2② 14④③3 完全順列
練習 右の図のよう
(以後次ページに続く)
354
冒
1-5-3
1-3
※以下
n 12
n=
[

て名を書い
あるか。
大]
0, ④, ⑤;
3, 4, 5)
の数を求め
ない。
一作る際は、
4
⑤
-5-3
-3-4
内の数字
を並べない
ものを完
てもよい｡
完全順列
)=1
替える。
完全順列
あるとき
完全順列
る。
に続く)
4
考事項
前ページの検討から続く内容である。
の完全順列の総数をW(n) で表す。
数字の順列①,2,
のとき,まず, 1, 2, 3, 4 の4個の数字の順列の最後に⑤⑤5] を並べる。
4個の数字の順列が 完全順列であるとき, [5] と 1~4番目の数を入れ替える。
1
10
この場合、4通りの入れ替え方があるから
⑤と①を入れ替える
4 x W (4) 通り
234 15
2③34④5
[2] k=1,2,3,4とする。
4個の数字の順列において、 1つだけん番目のものがであるとき (残る3個の数字
列
は完全順列になっている), kと5を入れ替える。
この場合、4通りの入れ替え方があるから
4×W(3) 通り
⑤5
④ を入れ替える
2② ③3 14 5
2②2③3 15 4④
W(5)=4×W(4)+4×W(3)=4×9+4×2=44
[1],[2] から
5とするとき, 1~5の5個の数字の順列において, k番目がんであ
k=1,2,......,
るものの個数をNとすると, N = 0, 1,2, 3,5 の場合がある (N=4は起こりえない)。
これまで説明した方法で 完全順列を作ることができるのは, N = 0, 1 の場合のみであ
151
RIGH LA VI
一般に、完全順列について,次のような関係式が成り立つことが知られている。
W(1)=0, W(2)=1
W(n)=(n−1){W(n−1)+W(n−2)} (n≥3)
KURUT
(*)のような関係式を漸化式という(数学Bで学習する)。また, n個のものの完
全順列の総数 W (n) をモンモール数という。
●補集合の考えを利用した求め方 (p.367 以後で学習する 「組合せ」の知識を用いる)
1, 2, ... ⑤の5個の数字の順列は 5通り
また、上の注意 のように, k, N を定めると
[1] N=1のとき
5C1 x W (4)=5×9=45 (通り)
例 234 15, 1 ③3 4 5 2 など
青く塗った部分は完全順列
[2]N=2のとき
5C2 x W (3) = 10×2=20 (通り)
青く塗った部分は完全順列
[3] N=3のとき
5C3×W(2) = 10×1=10 (通り)
123545234 11 など
青く塗った部分は完全順列
[5] N=5のときは, 12345の通り
N=4のときは, 5個の数字すべてん番目にんがあることになるから 0通り
以上から
W(F)
1) 120-76=44
3
7
3
以下
12453.25 ③3 41 など
355

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

うちは

そのままの意味ですよ...？
1、2の２つの数字の完全順列の総数は(2、1)
と並べる1通りしかないです