Question

ゆうか

数３、logの微分です。
まず、logaxにおいて、logの底条件よりa>0かつa≠1、真数条件よりx>0です。
y=log|x|を微分すると絶対値が外れる理由は、真数条件より絶対値の中は必ず正だからで合ってますか？？

Answer 1

暇つぶし

x の正負で場合分けして微分してみると，
どちらの場合も 1/x となって絶対値が外れるからです．
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x > 0 のとき，
dy/dx = 1/x (※)
となることがわかっている前提とします．
x < 0 のとき，
y = log|x| = log(-x)
です．u = -x とおくと，
y = log(u)
です．
dy/dx = dy/du du/dx
において，u > 0 なので(※)が使えて，
dy/du = 1/u
を得ます．また
du/dx = -1
なので，
dy/dx = -1/u = 1/x
となります．
つまり x < 0 でも y = log|x| を微分すると 1/x となることがわかりました．