数学
高校生
解決済み

基礎問題精講 数学Ⅲの82の質問です
赤線を引いた箇所の途中計算がわかりません
limθ→+0 θ/sinθ が1になることはわかるのですが
全体の結果がなぜ+∞になるのかがわかりません
教えてくださいお願いします

= (0<6 dy=0 より sin0=0 また、 dx 0 1-cos0 >0 だから, 増減は右表のよう エ になる.また, dy dy sin 0(1+cos 0) dx lim =lim 0+0 dx 1-cos²0 0+0 to =lim 0 1+cos0 0 =+8 0+0 sino 0-2=t とおくと, 02-0 のとき, t→ dy=lim sin (2x+t) 0-2n-o dx →-0 1-cos (2n+t) lim

回答

✨ ベストアンサー ✨

θ→+0のときcosθ=1ですから、(1+cosθ)/θ=+∞です。故に全体として正の無限大に発散します。

とろろ

cosθ=1というのはわかりましたが、それならば(1+cosθ)/θは2/0になって+∞にならないと思うのですが、、
すいません、できれば
(1+cosθ)/θ=+∞にどうしてなるのかもう少し詳しく知りたいです
よろしくお願いします

サスケ

少なくとも高校で習う極限は今までと同様に0除算を認めていません。「あくまで近付けるだけなので分母は0にならない」という論理です。

ここで、f(x)=2/xについて、xを正から0に近付けていくことを考えます。
x=1のとき f(1)=2
x=0.1のとき f(0.1)=20
x=0.0001のとき f(0.0001)=20000



というように、xが0に近づくほど、2/xの値は大きくなっていくことがわかります。
xを正から0に限りなく近づけるとき、2/xの値は限りなく大きくなります。これを、
lim 2/x=∞
x→+0
と書くのです。

今回は、θ→+0のときの(1+cosθ)/θについて考えるわけですが、感覚的に1+cosθは限りなく2に近づいていって、θは限りなく正から0に近づいていくため、前述したような形で正の無限大∞に発散するとわかります。

[ちょっと発展的な話]
まぁ今思いついただけなのですが、感覚に依らず正しく客観的に考えるなら、"はさみうちの原理"を使うべきです。

cosθの値域はθ=0の近傍(特に今回はθが正である範囲)において考えれば十分ですから、仮に0<θ≦π/4としておきましょう。(θ=0にはならないので、定義域にθ=0は含まれません。)

f(θ)=(1+cosθ)/θとおくと、1/√2≦cosθ<1であることから、(1+1/√2)/θ≦f(θ)<2/θが得られます。
この不等式について、前述から、θ→+0のとき、
(左辺)=∞
(右辺)=∞
と分かります。故に、はさみうちの原理から、
θ→+0のときf(θ)=∞
となります。

とろろ

ものすごくわかりやすいです。
ありがとうございます。

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