数学
高校生
第問3の(Ⅲ)が解答を見ても分かりませんでした。どなたか教えて下さると幸いです。
[12 センター試験·本計)
*3 次の問いに答えよ。必要ならば、/7 が無理数であることを用いてよい。
(1) Aを有理数全体の集合, Bを無理数全体の集合とする。 空集合をのと表す。
次の(i)~(v) が真の命題になるように, ア]~エ
に当てはまるものを、下の
0~6のうちから一つずつ選べ。ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。
(i) V28
(i) A ア(0}
()-A={0}| ウA
0 =
イ B
(iv) の=A ェ B
0 E
3 コ
0 n
6 U
C
(2) 実数 xに対する条件か, 9, rを次のように定める。
p:xは無理数
q:x+V28 は有理数
r:V28 xは有理数
次のオ カに当てはまるものを, 下の①~③のうちから一つずつ選べ。た
だし,同じものを繰り返し選んでもよい。 よケホチ
かはqであるための オ。
かはrであるための
カ
0 必要十分条件である
0 必要条件であるが, 十分条件でない
② 十分条件であるが, 必要条件でない
必要条件でも十分条件でもない
ケい
[16 センター試験·本試)
SxS
--x-+号であるから, -号を
11
1
1
-2 -1
2
2
2
2
2
中心に両側に
ずつのびていると考えられる。(→ 3)
3 (1) i) {0}は, 0のみを要素にもつ集合であ-(0} は集合。
る。
0は有理数であるから,{0} は集合 Aの部分集合であ
る。すなわち
Aつ{0}(ア)
(i) V28 7であるから,V28 は無理数である。
よって,2S は集合Bの要素であるから
(28 EB(0)
()(i)より,{0}CAであるから
() 有理数であり, かつ無理数である数は存在しないか
/28 は要素。
A={0}UA(*)
ら
の=ANB(-④)
(2) 命題「か=→ q」は偽。(反例)x=V7
命題「q→」は真。
合反例があれば偽。 基7
-q→pのみが真。 重4
(証明) x+V28 =r(r は有理数)とすると
x=r-V28
rは有理数,(1) (ii) より /28 は無理数であるから,
アーV28 は無理数である。
よって,xは無理数である。
以上から,かはqであるための必要条件であるが, 十分
条件でない。(オ0)
命題「カ→r」は偽。(反例)x=V3
o CHECK O
→,r→pともに偽。
→重4
命題「r→」は偽。(反例) x=0
以上から,かはrであるための必要条件でも十分条件で
もない。(カ)
4
解答
合仮定の×EA, yEAは,
「xは無理数」かつ「yは無
理数」であることに注意す
0 x=V2 は無理数, y=0 は有理数である。
よって,仮定を満たさないので, 命題の反例ではない。
0 x=3-/3 と y=V3-1 はともに無理数であるか
ら,仮定は満たされている。
る。
s|N
slN
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