Question

🐰

(2)何してるのかさっぱりわかりません、、
一から十まで教えてください😭

三角形の性質
531
Check
例 題 284
AABC の内部に点Pがある。AP, BP, CP と対辺
との交点をそれぞれ D, E, Fとする. 10円
1) EF と AP との交点をQとする。点Pが△ABC
の重心のとき,DP:PQ を求めよ。
(2) AD=l, BE=m, CF=n とし,△ABCの内
接円の半径をrとする.点Pが△ABC の垂心
三角形の重心内心
AA
F
E
P
B
D
C
YA
のとき,
r
1-1
1
1
が成り立つことを示せ。
e
m
n
考え方(1) Pは △ABC の重心より,E, Fは AC, AB の中点であり,AP: PD=2:1
(2) △ABC の内心をIとすると,△ABC=AIBC+△ICA+△IAB
(1)点Pが△ABC の重心のとき, E, F はそれぞれ AC, AB
の中点であるから,中点連結定理より,
よって,
CP 点Pが△ABC の重心より,
したがって,
(2)AABC の内心をIとする.
解答
FE/BC
△BPDのAEPQ
BP:PE=2:1
JM
F
Q
E
DP:PQ=BP:PE=2:1
IP
「0
B
D
C
興時全宝急AABC=AIBC+AICA+△IAB
れ等しいから
AAPL
よって、 (BC+CA+AB)r
1
A
×BC×ァ+;×CA×ァ+ラ×AB×r
2
線であるんエMH ADIMH
FA
AABC=S とおいて整理すると,
BC+CA+AB
2S
E
の
1
…0
r
B D
1
C
D=}×CAXBE=}XABXCF
ー方,
△ABC=;×BC×AD=
1
-×CA×BE=→×AB×CF
2S=BC×&=CA×m=AB×N
よって,
BC=, CA= 2S
2S
AB=
n
m
これらを①に代入すると,
1__1/2S」 2S
2Se
2S
1
1
n
m
n
m
r
Focus
重心は三角形の3本の中線の交点で, 各中線を 2:1 に内分
m血角の二等分線の交点で, 内接円の中心
o

Answer 1

音花

△ABC=△IBC+△ICA+△IAB
より、△ABCは図に示された補助線によって3つの三角形に分割できます。三角形の内心円の中心から接線を引くと、その直線と三角形の辺は必ず直角を作りますので、ID, IE, IFが三角形の面積の公式における高さの役割になります。そして、このID, IE, IFは全て内接円の半径=rになります。
そのため、△ABCを分割した3つの三角形にそれぞれ面積の公式を当てはめると「△ABC=1/2(BC+CA+AB)r」を導くことができ、これを変形させて「1/r=(BC+CA+AB)/2S」…①も導けます。

一方、最初から△ABCの面積を「1/2×底辺×高さ」で表そうとしたのが下の3つの式ですね。これを②としましょう。各頂点と内心を結んだ直線と各辺はこれまた直角を作りますので、この式が成立します。
そして、BC×l=CA×m=AB×n=2S、つまり2個分の△ABC。長方形ですね。ここから「BC=2S/l, CA=2S/m, AB=2S/n」が導けます。これを③としましょう

あとは代入するだけです。
②に③を代入し、それを①に代入しましょう。