Question

薫

漸化式の問題です。
次の漸化式で定まる数列{an}の一般項を求めよ。
対数を取ることはわかったのですが、その後
どうすればいいのでしょうか？

3
anel
Cao=1, a,= 2
Clntz = 2
へ
an
おLan]の一般授をれめ上。
両足の対数をとり、 レッ(an)
Xp+2) = log12) + loglaion
912) + Me+)
-Xn とおくと、
Xn
ニ
Xnt2)-Xnt1t
log(2)

漸化式 数学3 高校数学

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

よて

この問題の答えって分かってる感じですか？
とりあえず自分なりの答えは出したのですが不安なので...

薫

すみません答えはわかってないです。

よて

了解です。
合ってるかはわからないですけど解いてみました...(一応a0 a1 a2 a3 までは私の計算では合いました)

薫

初歩的な事を聞くかもしれません。
(3x^2)-5x+2=0 の式はどのようにして出てきたのでしょうか？

よて

bn+2 -5/3bn+1 +2/3bn = 0 の特性方程式です。
特性方程式の解を求めて変形し、定数項の部分を調整しようとした感じです。

薫

そうなんですね！ありがとうございます。

すみません。
途中で-5/3が消えているのはなんでなんでしょうか？

よて

①、②式のところでしょうか。
特性方程式の解を用いた変形です。①、②式それぞれ右辺にあるものを全て左辺に移項すれば元に戻るかと思います。

薫

ありがとうございます。
すみません、後半①、②を細かく解いたものも何かの方程式なのでしょうか？

よて

画像左下は①、②式の漸化式を解き、ひとまず bn+1 - bn 、bn+1 - 2/3bn を求めようとしてます。(③、④式)
③、④式が得られ、これらを引き算すると bn+1 が消えてくれて、bnだけが表された式ができます。(画像右下③-④のところ)
bn=log₂an と置いていたものを戻して、anについての式にすれば答えが出ると思いました。

薫

丁寧にありがとうございます！
一からやってみます。

薫

一つ一つ理解しながら解く事ができました。
丁寧にありがとうございました！

このような問題の、解き方のコツとかってありますでしょうか？

よて

私が意識することとしては「考えやすい形になるように変形すること、置き換えること」、「見覚えのある形に近づけること」あたりでしょうか。
今回で言えば、三乗根のままでは考えづらいから対数をとる、わかりやすいようにlog anをbnと置き換える...とすれば、解けそうな三項間漸化式が見えてきました。(定数項があるのは初めてでしたが)
変形さえできてしまえば、あとはこっちのものです。ほとんどの場合、等差・等比数列、特性方程式の考えで解けます。(と、私は信じてます笑)
解き進める流れ(パターン)はだいたいどの問題も似ているので、いろいろな問題に触れてみると良い気がします。