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とりあえず(2)です。
(2)
何度も書くのは面倒なので、
(ア)→「Pの座標が2になる」事象
(イ)→「Pの座標が1になる」事象
とします。
＊によってどこにいたとしても原点に戻されてしまうので、＊の位置で場合分けします。
(i) ＊が出なかった場合
3回くらいなら数えあげてもよいんですが、一応式をたてますね。1をx回, -1をy回出したとすれば、計3回サイコロを振るのでx+y=3です。
アのとき1x+(-1y)=x-y=2
イのとき1x+(-1y)=x-y=1
これを解くと、アは整数にならないので起こらないことがわかり、イはx=2, y=1となります。
(ii)＊が1回目で出たとき
＊により1回目はリセットされて、残り2回でアやイになれば良いとわかりますが、こうなる場合はちょうど(1)で求めているので、そのまま使います。
(iii)＊が2回目で出て、1回目には出ていないとき
1回目何を出したとしても2回目の＊でリセットされるので、3回目で決まります。2を出すことは不可能なので(ア)は起こらず、(イ)は1を出す必要があります。
(＊が3回目で出る場合は明らかに×)
したがって
ア
(ii)の場合で、＊→1→1でのみ起こります。
1→1となるのは(1)より1/9であり、1回目に＊を出した上で1/9が起こる確率は、＊を出す確率1/3をかけてやって1/27と求まります。
イ
(i)の場合→(-1,1,-1)(1,-1,1)(1,1,-1)の3パターンが考えられます。きちんと2個の-1や1は区別してやると、1/27×3=1/9と求まります。
(ii)の場合→(＊,＊,1)しかありえないので、1/27です。
(iii)の場合→1回目＊以外を考えます。
(1,＊,1)(-1,＊,1)の2パターンが考えられるので、1/27×2=2/27です。
ゆえに、それぞれは排反事象なので足して2/9です。
↑訂正
＊,1,-1は0ですね。
(3)
負になると言われたときに、真面目に負となる場合を数え上げてもよいですが、数学において大切な考え方に「逆を考える」というのがあります。せっかく(2)で1や2になる場合を考えたのなら、負になる場合より負にならない場合(0か正)を考えた方が効率が良さそうです。3になる場合は、明らかに1→1→1しかないし、あとは0になる場合だけを考えてやればOKですよね。
まず3=奇数回では＊を出さない限りは0にならないので、＊は含まないといけません。それから、3回目＊だと何を出してもよいことになります。
これを踏まえて残りの「＊は含むが3回目が＊にならない場合」を数え上げると、(＊,1,-1)(＊,-1,1)のみが該当するとわかるので、最後が＊のものと(＊,1,-1)(＊,-1,1)だと0になります。
最後が＊のものは1回目と2回目はなんでもよいので9通りです。よって9/27=1/3となります。それと(＊,1,-1)(＊,-1,1)をあわせれば11/27となります。
よって、
0となる→11/27
1となる→2/9=6/27
2となる→1/27
3となる→1/27
をあわせて19/27、その逆を考えれば8/27が答えです。
最後に2回目に＊が出ている負になる場合を考えます。2回目ということはリセットされて3回目だけを考えればよいので、こうなるのは
1回目何でもOK→2回目＊→3回目-1
しかありませんね。この確率は1/9となります。
したがって、求める条件付き確率は
(1/9)/(8/27)=(3/27)/(8/27)=3/8です。
ちなみに、記述ではおそらくアウトですが、この問題には1と-1が同数ずつあり、対称性があるので、答えだけならすぐに8/27は求まります。
例えば2を出す場合の1つとして、＊,1,1がありますが、これは-2を出す場合の＊,-1,-1に対応しているように見ることができます。このように考えたら負になる確率と正になる確率は全く同じであるといえます。
正になるのは
(2)から1になる2/9と2になる1/27
それから3となるのは(1,1,1)の1/27なので、足してやれば8/27となりますよね。
分かりやすかったです。
ありがとうございます🙏🏻
ただ、言っても27通りの出方しかないですし、最後＊は論外なので、地道に18通り数え上げるのが確実かとは思います。
あと、イの(i)で(-1,1,-1)となってますが(-1,1,1)の間違いです。すみません。