Question

せな

共通テストの数学1aの整数問題を教えてください！

条件「a°を26で割った余りとaを26 で割った余りが等しい」
数学I.数学A
第4問(選択問題)
(配点 20)
(1) aは1以上 100 以下の整数とする。
26
を満たすようなaの個数を求めよう。
26
(*)は
「a°-a は
ア
の倍数」
と同値である。
(26
さらに,α°-a=(a-1)a であり、aー1. aは連続する2つの整数であるか
ら,(**) は
「a-a は
イ
の倍数」
と同値である。
以上のことから,(*) は, -「aをイ
で割った余りが| ウ6または
エク」
と同値である。ただし,
ウ」<
とする。
エ
したがって, 1以上100以下の整数aのうち, α'を 26 で割った余りとaを26
で割った余りが等しくなるようなaは, 全部でオカ個ある。
24
ア
の解答群
O 26
0 28
2 38
3 40
イ
の解答群
0 13
0 14
2 19
20
(数学I·数学A第4問は次ページに続く。)
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Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

まず、条件からk,lを整数として
a²=26k+p
a=26l+p
と表せるので、
a²-a=26(k-l)
より、アは26となります。

そして、連続する2整数は2の倍数です。
26の倍数=2の倍数かつ13の倍数
のうち、2の倍数であることは常に成り立つので、13の倍数であるという条件だけでも13や39なんかは省かれて26の倍数であることになるので、13となります。このあたりは、本番ではじっくり考えなくても「26=13×2だし選択肢的に13だろ」でよいです。

a(a-1)が13の倍数であるとき、連続する2整数は互いに素であるからaが13の倍数かa-1が13の倍数となるので、前者のとき余りは0, 後者のとき余りは1となります。
したがって、前者は13,26,...,91の7つ、後者は14,27...,92の7つで14だと思います。

ブドウくん

あ、1の存在を忘れてました。15ですね。

ブドウくん

今日共通テストを受けてきて、明日も共通テストを受けられるんでしょうか？とにかく、今日の出来は明日の自己採点まで忘れて、数学Iと数学I+A、数学IIと数学II+Bを間違えないことだけには注意して、明日も頑張ってくださいね。

せな

分かりやすく丁寧にありがとうございます！解説を見ても理解できず困っていたのですが、理解できました！✨ありがとうございます!!!今日も共通テスト頑張ってきます！！