Question

。

困っています。
教えてください。
数学 標準問題精講104番の問題です。

なぜa=0の時を別にして、考えるのでしょうか？0＜a≦½—に含めて考えるのは間違った考え方なのでしょうか？

ご教授ください。

104
文字係数を含む関
関数 f(z)=|z°_3a'z| の 0Szハ1 における最大値 M(a) を求めよ,た
だし,a20 とする. さらに, M(a)を最小にするaの値を求めよ、(福井大)
関数 y=lg(z) のグラフは,
リ=g(z)のグラフをかいて, z軸
o
解法のプロセス
折り返しを利用して
=lg(z)| のグラフ
をかく
→精講
の下側の部分を上側に
折り返す
ことにより得られます. 絶対値をはずすための場
合分けは問題を煩雑にするだけです。
本間の場合は, g(x)=rー3α'x だから
g'(z)=3r°-3a°=3(z+a)(z-a)
リ=g(x)
リ=lg(z)| が最大となるのは
極大または右端
定義域の右端 エ=1 の位置
と区間 aSxS2a を比較しな
リ=f(x)
がら最大値を求める
P
R
-2a
-2a
12a
a
2a x
a OF
-a 0
a
x
折り
返す
-2
図の点Qのェ座標は, y=z°-3aI とy=2α°
を連立させて求めます。 このとき,Pのr座標
ーaが重解となることを考えれば,連立した式は
直ちに整理されるでしょう.
次に y=f(x) のグラフをみると, M(a)を求
*3次関数の対称性から
PR:RQ=1:2
より,Qのェ座標は2aとわ
かる
めるためには
(標問 103 の 研究を参照)
定義域の右端 x=1 の位置が区間
aSx<2a の範囲にあるか否かで場合分け
が必要なことに気づきます。
0n
解答
g(x)=-3a°r とおく.
g'(x)=3z°-3a°=3(エ+a)(xーa)
0のとき、 エ20 における g(2)の増減表は右
のようになる。
ー3a°エ=2a° を解くと
73-30°x-2 30
0
a
|g(z)
|9(z)
0
0
8

237
(r+a)°(z-2a)=0
よって z20 での解は
=2a
これより,z20 におけ
るy=f(x)(=lg(x)1) の
グラフは右図のようになる。
0SェM1における最大 -2
値M(a)は
(i) 1Sa のとき
リ=(x))
エ=-a は重解となる
2a°
0
|a
2a
max
= 9(x)
合 (i)のとき 0
1a
2a
x
M(a)=f(1)=-g(1)=3a°-1
YA
(i) aS1<2a(→sasl) のとき
(i)のとき
max
M(a)=f(a)=-g(a)=2α°
Rii
() 2aS1 (0<as)のとき
i」
111
0
a 1 2ax
M(a)=f(1)=g(1)=1-3a°
a=0のとき,f(x)=|r|=£° (x20) は単調増
加であり,0<IAl における最大値 M(0) は
M(0)=f(1)=1
これは面の結果に含めることができる。
よって
()のとき
Y4
max
1
a
2a
だい0
b4
3a°-1 (a>1)
2
2a°
1
-Mam_)
M(a)=
sHx
|1-3a°(0<al-
1
4
1!
6=M(a) のグラフは右図のようになる.
(6=3a°-1 とb=2α° のグラフは a=1 で接して
いる)
よって,M(a)を最小にするaの値は
a
2/
1
a=→ である。
2
C

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

3次関数の場合,最大値をとる場所は定義域の端か極大のところなのでそもそもこの関数が極値をとるかどうかはaの値に依存します。
したがって,極値をもつときともたないときとで場合をさらに分けて考えているということになります。

ぽっきー

補足
ただ,今回の場合,a＝0のとき　f(1)が最大ってすぐに分かるので予め分かりきっている時は(iii)の場合と同じなのではじめから0を含んで考えても問題ありません。

。

回答、ありがとうございました。
塾に行けないので助かります。
またよろしくお願い致します