Question

ぽぬ🐤

数II領域の最大・最小の問題です。
（2）の解説でy＝¹∕₃x がどこから来たのかどうやって求めているのかが分かりません。その他の解説の理解はできています、よろしくお願いします。

実数2, yが,3.r+y26, 2.r-yハ4, z+2y£7 を同時にみた
領域D内を点(z, y) が動くとき, r+y のとりうる値はどのように
三礎問
51 領域内の点に対する最大·最小
すとき,次の問いに答えよ。
(1) 3.2-y のとりうる値の最大値,最小値を求めよ。
(2) °+y? のとりうる値の最大値,最小値を求めよ。
精講
考えればよいのでしょうか.
たとえば,(x, y)=(1, 1) としたときの エ+y は2ですが, この
「2」はどこに現れているかというと, エty=2 だから,直線のy切片として
現れています。(右図参照)
だから, x+y=k とおいて, この直線がDと共有点を
もちながら動くときのy切片kのとりうる値の範囲を考え
ればよいのです.
(右図で,z+y=k はDと共有点をもっています)
たとえば,右図では点(1, 1) だけではなく, エ+y=k
上の太線部分の点をすべて代入したことになっているのです。
2
0
解答
3.x+y26
連立不等式( 2.ェーyハ4 の表す領域は
2+2y<7
〈図I〉の色の部分(境界も含む).
注境界になる3つの直線の交点を先に求めてお
くと,領域がかきやすくなります。
(図I)
3
2
/2
0
1
3 C
A
(1) 3.ェ-y=k とおくと,
ポイント
(図I)
リ=3rーk となり,これは, 傾き 3, y 切片 一kの
3
直線を表す。
B
2
よって,この直線が, 〈図I〉の色の部分と共有点
をもつように動くときの, y切片のとりうる値の 0
範囲を考えればよい。
2
1 A3

〈図I)より,y=3.r-k がB(3, 2) を通るとき, -kは最小で,
すなわち, B(3, 2) を通るとき, kは最大値 7をとり
85
C(1, 3)を通るとき,-kは最大
C(1, 3) を通るとき, kは最小値 0 をとる。
(2) +y°=r?(r>0) とおくと,これは原点中
心、半径rの円を表し,この図形が〈図I〉の色
の部分と共有点をもちながら動くときの, パの
とりうる値の範囲を考えればよい.
(図I)
3
B
(i) 最大値
円がBを通るとき,r?は最大で,最大値は
3°+2°=13
0
1 A
3
(i) 最小値
円が直線CA, すなわち, 3z+y-6=0 と接するときを考える。
限間:1
3
3
このとき,接点は,直線 CA と y=Iの交点で(
5°5
| この点は線分 CA 上にあるので, この点がパの最小値を与え,
最小値は() +()=
2
2
18
5
注 +y? は, (0, 0) と (x, y) との距離の平方と考えることもできます。
ポイント
;不等式が表す領域内の点(x, y) に対して, z, yの関
数f(r, y)の最大値, 最小値は
I. f(z, y)=k とおき
I. kが図形的に何を意味するかを考えて
I. f(z, y)=k が領域と共有点をもつように動かし,
kの最大, 最小を考える
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

イトカズ

直線CAと円が接するときなのでその接点をPとおくと、
直線OP⊥直線ACより垂直条件と直線ACの傾きが-3であることから直線OPの傾きは1/3
また原点を通る直線なので直線OPの方程式はy=(1/3)x
この直線OPがその解説のものです。

ぽぬ🐤

なるほど理解できました！わかりやすくありがとうございました！