もとのf(x)がわかんない。。。
f(x)=x³-3(a+1)x²+3a(a+2)x
f(x)=0において、正の解がただ一つとなる。
x³-3(a+1)x²+3a(a+2)x=0
x{x²-3(a+1)x+3a(a+2)}=0
ひとつの解はx=0で確定なので、
x²-3(a+1)x+3a(a+2)=0の解の組み合わせが(正、負)またわ、(正、0)であればよい。
解と係数との関係より、解をα、βとすると
α+β=3(a+1) ①
αβ=3a(a+2) ②
(正、負)のとき
②<0なので
3a(a+2)<0
-2<a<0
また、D=9(a+1)²-12a(a+2)>0
-3a²-6a+9>0
a²+2a-3<0
(a-1)(a+3)<0
-3<a<1
よって共通範囲は-2<a<0 ③
(正、0)のとき
②=0なので
3a(a+2)=0
a=0、a=-2
また、D=9(a+1)²-12a(a+2)=0
9(a+1)²-4×3a(a+2)=0
9(a+1)²=0
a=-1
a=-2のとき
x²+3x=(x+3)x=0となり正の解を持たないので不適。
a=-1のとき、x²-3=0
x=±√3より正の解をもつので成立。
a=0のとき、x²-3x=x(x-3)=0
より、正の解をもつので成立。
単に実数解をもつとき、
D≧0すなわち
9(a+1)²-12a(a+2)≧0
(a-1)(a+3)≦0
-3≦a≦1
a=-3のとき、x²+6x+9=(x+3)²=0
より、正の解を持たないので不適。
a=1のとき、x²-6x+9=(x-3)²=0
より、正の解をもつので成立。
以上のことをまとめると、
-2<a≦0、a=1のとき、正の解を一つだけもつ。
また、a=1のときの正の解はx=3
すいません。めっちゃ長くなりましたが、この記述もまだようやくできる部分が沢山あります。🙏
解答は微分などしていましたが、僕はめんどくさいので場合分けをしてゴリ押します。
x=0は確定であり0は正負どちらでもないので考える必要がありませんよね。そうなった場合、正の解が一つだけとなる解の組み合わせを考え、また、前提として、2つともx=0となっちゃだめで、実数解を持たなければならないので判別式を上手く使うことになります。
分からない点がありましたら何時でもまってます。
実数解を持たなければならないので、もし判別式が0より小さければ実数解を持たなくなってしまいます
すいません。こちらになります。