Question

あ

成分による内積は、余弦定理を使って証明すると思います。 ベクトルの内積のなす角θの範囲にはθ=0°、180°が含まれていますが、その場合余弦定理を使用して証明しても良いのでしょうか。

ベクトル 数学b

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

なむる

教科書の証明を見ていただければ話は早いのですが、まず、0°<θ<180°として、余弦定理を用いて等式を出し、その後それがθ=0°,180°でも成り立つことを個別に確認することで、0°≦θ≦180°の範囲で証明を行っています。

あ

0°＜θ＜180°において余弦定理を用いているのに、その範囲をこえたθ=0°、180°を代入してもいいんですか？
代入して成立するならいい、ということでしょうか

なむる

まず、
AB²=OA²+OB²-2OA・OBcosθ・・・①
という等式が、余弦定理によって、
0°<θ<180°で成り立つことが保証されます。
その範囲の外については何も言っていないことに注意しましょう。
そして、さらに、この等式はθ=0°,180°でも成り立つことが計算でわかります。ここで初めて①のθ=0°,180°の議論がなされるので、それ以前がどうとかは関係ありません。等式が成り立つならば①に他のθを入れても問題ないです。

「余弦定理より、①は0°≦θ≦180°で成り立つ」
は大きな間違いですが、
「余弦定理より、①は0°<θ<180°で成り立ち、また、θ=0°,180°も①を満たす」
は何の問題もありません。

あ

理解できました。丁寧にありがとうございました。