Question

りらん

？書いてる所を教えて欲しいです。
異なる2点で接するのにD＝0なんですか、、、？

この問題では、xを消去して, yの2次方程式 (y-a)+y?=9 の実数解,
放物線と円の共有点 接点
148
基本 93
放物線y=x+aと円x+y°%=9について、次のものを求め上
(1) この放物線と円が接するとき, 定数aの値
(2) 異なる4個の交点をもつような定数aの値の範囲
重要例題 100
共有点→実数解接点 解
で考えればよい。
指針> 放物線と円の共有点についても, これまで学習した方針
0 0
0
重解を考える。
なお,放物線と円が接する とは、 円と放物線が共通の接線をもつとき
で、この問題では,右の図のようになり, 2点で接する場合と1点で技
する場合がある。
解答
(2) 別盟 x=9-y2
であるから -3<ys3
x=y-a
(1) y=x°+aから
これをx+y?=9に代入して
に代A(y-a)+y?=9
2のy
つの値に対して、 xの量
つあり、y=±3ならょー
けであるから,放物線と
4個の共有点をもつため
3
よって y°+y-a-9=0
[1] 放物線と円が2点で接する場合
2次方程式Dは重解をもつ。
のの判別式をDとすると
D=1°-4(-a-9)
=4a+37=0
-3
0
3
x
-3
件は,2次方程式①が
範囲に異なる2つの実襲
もつことである。 よって
37
4
判別式 D=4a+37>0
37
a=ー
4
ゆえに
る での 381
37
から a>-
4
[2] 放物線と円が1点で接する場合 させ (e) )=y"+y-a-9と
図から,点(0, 3), (0, -3) で接する場合で a=±3
軸について -3<ー-
以上から,求めるaの値は
37
土3
4'
a=ー
ある。f(3)=3-a>0から
a<3……4
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,上の図から,放物 f(-3)=-3-a>0か
線の頂点が、点(0. -)から点(0, -3) を結ぶ線分上
37
a<-3 …… 5
(端点を除く)にあるときである。
3~6の共通範囲を
37
37
一<a<-3
したがって
-25
郎.
練習
放物線 y=2x°+aと円x+(y-2)?=1について,!次のものを求めよ。
100 (1) この放物線と円が接するとき, 定数aの値
の
(2)異なる4個の交点をもつような宗熱
aのはのを面
D.15

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

poppo

①のyに関する二次方程式ですが、これの解が表すものは放物線と円の交点のy座標のになりますよね。
そしてこの後、出たyをx^2=y-aに代入することで、放物線と円の交点のx座標も出るわけです。

さて、①は二次方程式なので0〜2この解を持ちます。
仮に2個のyが出たとすると、その2つともx^2=の式へ代入することになりますが、これはxの二次方程式なのでyの値1つにつき2つのxが出てきます。
yが2こ→xが4こ出てくるわけです。

xが4個出てくるということは、交点のx座標が4つ存在するという事なので4点で放物線と円が交わる事になります。これって接する時ではなく、円を放物線が突き抜けてる時ですよね。

では①が解を1つだけ持つ時はどうでしょうか？
yが1個→xが2個　つまり交点が2個。
図で確認するとわかりやすいですが、交点が2個の時に放物線と円は接します。

なので、①が解1つだけ持つ=重解を持つときに2点で接します。

りらん

なるほど！納得出来ました！
分かりやすい説明ありがとうございました🙇‍♀️

poppo

こんな説明で理解してもらえたなら良かったです。
重解で良いのはあくまで2点で接する時なので、[1]にあるように1点で接する時は別に図から考える必要があるのは忘れないようにしてください。

りらん

とても分かりやすかったです☺️
ありがとうございました🙇‍♀️
また質問に答えてもらえると嬉しいです☺️