24 分数式の最大最小 (相初川相乗平均の大小郎。
: y=x°
2次関数,三角関数,指数,対数を
ー1x-aと
D:y=ar+arを考える。
2(1) CとDは異なる2点で交わることを示せ
a>1を満たす実数aに対して, 2つの放物線c.
2次関数,三角関数,指数,対数を中心にして
両辺に3を足すと,
mの最大値。
(a-1)++32/2+3
めよ。
<I(2V2+3)
両辺に -1を掛けたので、不等号の向き
が逆転する
a-1
.mS-2V2-3
これらの不等式で等号が成り立つ条件は、
…の
/y=xーar-a
y=ar?+ar
解答
分母を払うと,(a-1)?=2 となり,a-1>0
であるから、a-1=2 となる。これを整理
して、a=1+/2を得る
…の
のの解が C, Dの交点のx座標であ。
=ニより,a=1+V2
以上より,a=1+V2 のときにmは最大となり,
最大値 -2V2-3
a-1
の, のからyを消去すると,
ar°+ar=x?-ax-a
. (a-1)x?+2axta=0
…3
=a-(a-1)a=a
とって、>1より>0であるから, CとDは異なる2点で交わ。
解説講義
ここでは,分数式の最大最小間題を確認しておこう、(2)のような分数式の最大値,最小値
を求める問題では. 相加平均と相乗平均の大小関係がよく用いられる。 分母を払って、
D.
p+q22Vpq (等号は p=qのときに成り立つ)
の形で使うことが非常に多いということを知っておくとよい。
(2) CとDの2つの交点を P, Qとする。
そして、もう1つ“重要なコツ”がある。(2)では, m=-a+2+
河
のの2解をa, B (α<B) とすると, ③を解くと複雑な式になって」
実際に解かずに, a, Bとおく
となったが、相加
相乗平均の大小関係を, a+2+」22(a+2) 」という形では使っていない。このよ
a-1
うな形で使うと,右辺に文字 aが残ってしまい最小値につながる情報が得られない、そこで,
P (a, a'-aa-a), Q (B, B2-aB-a)
a-1-2
と表される。また, 解と係数の関係より,
2a
a-1
2
a-1
ー(a-1+ +3)と変形して,相加相乗平均の大小関係を使ったときに, 右辺に文字
aが残らないようにしている.これが“重要なコッ”である。つまり, 「考えている分数式を
D
α+B=--
flx)+。という形 (2つの項をかけると変数が消える形)にしてから相加相乗平均の大小
A
F(x)
が成り立つ,このとき,
(8°-a8-a)- (α2-aa-a)
B-a
関係を使う」ということである。
なお,解答では,相加相乗平均の大小関係を使って得られた不等式において 「等号成立条件
を調べている。この部分の確認を怠ると減点になる. 相加相乗平均の大小関係を使って得
れた(a-1)+-22/2は, 「 (a-1)+-2,が2/2より小さくならないこと」 を示して
(88-α)-a(8-a)
B-a
a-1=
a-
=(B+a)-a
るのであり,「最小値が2V2」であるかは分からない(最小値が 10であっても2V2以上と
う表現は正しい). そのため, 実際に 2V2という値をとること,すなわち, 等号が成立
ことを確認する必要がある。
次のように割り算をして変形する
2a
2
a-1
a-1)2a
2a-2
2
2+
文系
数学の必勝ポイント
ーa
2
=ーa+2+
a-1
+3
この変形がポイント!
分数式の最大最小問題
a-1+
a-1
ここで, a>1より, a-1>0, >0であり, 相加平均と相乗平均の大小陽
から,
0 f(x)+
f(x)
の形にして,相加相乗平均の大小関係を、
p+q22Vbq
2
の形で使う
2等号成立条件の確認を忘れないようにする
=2V2
p+q22/ pg の形で使う
