Question

魚見さん

①：赤枠はなにを確認しているのか
②：青線は、どうしたらこの発想が出てくるのか

それぞれ教えてほしいです。

(15 横浜市大·国際総合科学)
[基本問題)
負でない整数 m, nに対して B(m, n)= J。x" (1-x)* de と定旅
(1) B(3, 2)を求めよ。
(3) B(m, n)を求めよ。
いabを相異なる実数とする.このとき,J。 (x-a)"(x-b)” de を求、

(3) B(m, n)=-
m+1
n-1
-B(m+2, n-2)=…
ニ
m+1 m+2
n-1
1
-B(m+n, 0)
m+n
m+1 m+2
n-1
1
1
三
m+1 m+2
m+n m+n+1
m!n!
B(m, n)
11
ただし B(m+n, 0)=| m+n(1-z)°dz
0
1
1
、m+nde=
三
m+n+1
である。なお(1-x)°=1, 0!=1である.また, ①を使
う限りはn21であるが,②はn=0でも成り立つ。
エ-a
ー=tとおく. x:a→bのときt:0→1とな
b-a
る。エ=a+(bーa)t, x-a=(6-a)t
エーb=-(b-a)(1-t), dz=(b-a)dt
| (ェ-a)m(zーb)" dz
a
=| {(b-a)t}m{1(6-a)(1-t)}"(6-a)dt
a
=(-1)(b-a)m+n+1 | m(1-t)*dt
=(-1)(b-a)m+n+1B(m, n)
n+n+1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

なむる

①:まず、(2)で求めた漸化式は、n≧1の時にしか成り立ちません。それに対し、nは「負でない整数」ですから、求めた式がn=0でも当てはまることを実際に計算して確かめています。

②:∫[a→b](x-a)^m(x-b)^n dxから、どうにかしてB(m,n)を見出すための変換です。
つまり、積分区間をa→bから0→1に、x-aからtを、x-bから1-tを見出したいわけです。

(x-a)/(b-a)=tとおけば、x:a→bでt:0→1となり、さらに、
x-a=(b-a)t
x-b=-(b-a)(1-t)
dx=(b-a)dt
となりますので、願ったり叶ったりな変換なわけです。

なむる

初見で思いつくのは少々難しいかと思いますが、発想としては、
x-aがtになってほしい
→x-a=t(?)
→でも積分区間も直したい
→(x-a)/(b-a)=t

というところですかね。
補足のために図も載せておきます。

なむる

一次関数で変換すれば、
dx=(定数)dt
となるのもポイントです。

魚見さん

うわぁ〜なるほど！練習あるのみって感じですよね。
回答ありがとうございました！がんばります！