✨ ベストアンサー ✨
①③は正しいですが、②は正しくないです。どちらも、積の法則です。
和の法則は、教科書に書いてある定義だと難しく聞こえるかもしれませんが、要するに「場合分けは足し算」ということです。
例えば、「1から9999までで0を2個含む数の個数」を求めるとき、1桁や2桁では0が2個なんてことはありえないので、3桁か4桁になりますが、3桁の数で0を2個含む場合と4桁の数で0を2個含む場合を考えて、その足し算で全ての場合が求まりますよね。
積の法則は、連続で操作する場合だと考えるのが良いと思いますね。写真のようなイメージです。
そして、本題のPとCの違いですが、
nCr: 異なるn個の中からr個を選ぶことだけを行うとき
nPr: 異なるn個の中からr個を選んで、選んだものをさらに並べるとき
です。
写真を見てもらうのが早いのですが、PはCを考えたあとに並び替え方を考えるということをすればよく、本質的にPを理解していれば、Pを使う必要はないということです。
和の法則と積の法則についてですが…"和の法則は同時に起こらない時に使う"と習いました。そもそも、同時に起こらないとはどういう事なのかと。サイコロの話が例に上がっていたのは覚えていますが、"同時に起こらないから、和の法則を使う"というところで意味が分からず放置状態です。
和の法則と積の法則の見分け方が分かっても(同時に起こるかどうか)それを問題に生かせないのです。
▶ 積の法則は、連続で操作する場合だと考えるのが良いと思いますね。
連続で操作する、というのは、A.B.C.Dとあった場合にひとつひとつを選んでいくのではなく、1つ目がA、2つ目がB、3つ目が…のように順を追って考えていくという認識であっているでしょうか。
(長文の送信が出来なかったため、ふたつに分けて返信致します)
問題と比較しながら理解は難しいですね…。説明を読むと、Pを求める工程でCは求めているのか？と思いました…。"異なるn個の中からr個を選ぶ"というのはPもCも同じ。Cはこれで終わりだが、Pには"選んだものを並べる"という工程が加わる訳ですか。Pを使う必要はない、というのはそういう事なんですかね？
まず返信を読んで、ぽたしうむさんは、しっかりとわからないところを理解しようとしていて、立派だと思いました。
返信を読んだ感想としては、難しく考えようとし過ぎていると思いました。
例えば簡単な例で、さいころを振ったときに、その和が4になる、または6になる確率を求めなさいという問題があったとします。このとき、当然ですが2つの目の和が4でも7でもあるということはありえないですよね。同時に起こらないとはこういうことで、4であることと7であることは同時に起こらないのだから、(i)4である場合と(ii)7である場合とに場合分けをしてやって、まったく異なる場合であるその2つを足すことで全体の場合の数は求められますよね。
連続で操作というのは、例えば赤玉、青玉、白玉が1つずつ入った袋から、2回連続で取り出すときとかさいころを2回連続で振るとかそういうことです。さいころを振ったときに出る目の組み合わせは6通り×6通り=36通りですが、これは1回目1が出た場合、2回目に1,2,3,4,5,6が出る6通りがあって、1回目2が出た場合も2回目1,2,3,4,5,6が出る6通りがあって...というのを考えたら、6×6=36通りですよね。これは和の法則的に考えたら、1回目1が出ること、2が出ること、...6が出ることは同時に起こりえないのだから、6+6+6+6+6+6と考えてもよいですが、結局それは掛け算に他ならないです。
他の例として、5人の生徒から2人の生徒を選んで並べることを考えます。
一人目の選び方は5人から1人選ぶので5通りですよね。2人目の選び方は1人目で選んだ以外の4人から選ぶ必要があります。例えば一人目でAを選んだのなら、それ以外のB,C,D.Eから4人選ぶ必要がありますね。一人目Aを選んだ場合、2人目の選び方はA以外の4通り、一人目Bを選んだ場合も同じく2人目の選び方はB以外の4通り...Eを選んだ場合も同じく4通りとなるので、一人目の選び方5通りのおのおのが4通りをもつから、5×4=20通りになります。この演算が5P2に相当するわけですが、積の法則で考えればPは使わなくても自然と式はたつと思います。
Pを求める工程でCを求めているというニュアンスは、間違っていないと思いますし、その後のことについても、その理解でよいと思います。
午前授業日で返信が遅れました。すみません。質問等で話があちこちに飛んでます⤵︎返信の際に手間をおかけするのは申し訳ないので番号をふります。
質問で①〜③を使っているので④から始めてます。
④同時に起こらない、ってそういう事なんですね。同時に起こらないから、それぞれの場合分けをして考え、和の法則を使って全体の場合の数を求める事が出来るのですね。
⑤連続の操作、というのは"重なりが生じてはいけない時(ABをカウントするならBAはカウントしない)"とイコールですか？だとしたら、連続の操作はCの公式を使って求めるのでしょうか。
こちらもバイトで返信遅くなってしまいました、すみません。こちらも番号で返した方が分かりやすいと思うのでそうしますね。
④→理解してもらえたようでよかったです。
⑦→これに関しては全く違います。
⑤⑥→積の法則は、重なり云々とはまた別の話です。もちろん、順列の考え方は積の法則から導出されるものです。これは上で述べた通りです。しかし、組み合わせの公式(いわゆる順番を変えてもよいもの)も順列の考え方から派生したと考えられます。僕もそうですし、上の方もそうであるように、nPrはnCrにr!をかけたものであると書きましたが、逆に言えばnCrはnPrをr!で割ったものであって、nPrもr!も積の法則で考えられる概念だから、nCrも積の法則だと言えるのです。
ですが、ここまで考え出すと余計に頭が混乱してくるのです。だから、積の法則は連続操作だと言って、より簡単にしようとしているんです。
和の法則と積の法則を理解してもらうために、次の問題を考えます。
「1から999までの整数で0が1つ含まれるものはいくつあるか？」
これを樹形図で書いたら写真のようになります。
2桁の場合
3桁で0が十の位にくる場合
3桁で0が一の位にくる場合
この3つは、お互いに同時には起こらないですよね。(何度も言うように、3桁で1の位が0かつ2桁とかありえない)
そして、そのそれぞれの場合についてみてやります。2桁のときはすぐに数えられるからいいとして、3桁で1の位が0のとき、これらは100の位に入りうる数9通りのおのおのが十の位に入る1~9の数を持っているので9×9=81といえますね。ここで積の法則を使っています。
自分が連続操作と言ったのは、この樹形図のーのつながりのイメージです。100の位を選んだ、その上で10の位を決めるというニュアンスで書きました。
和の法則というのは、樹形図の島自体が全く別物(お互いに起こりえないシチュエーションだから)なので、島どうしを足しあわせる(今回だと3つの場合を足す)イメージです。
なんとか自分も、解く時に考えていることを書こうとしていますが、やっぱり経験値はどうしてもついてくるので、自分的に説明したつもりになっていても、できていないかもしれないです。
あ、すみません。１枚目の添付写真は関係ないです。結局説明の都合上3桁にして0も1つ減らしたので...
「1から999までの整数で0が1つ含まれるものはいくつあるか？」
この問は、最終的に 2桁、3桁、3桁の子達をそれぞれ足すんですよね、9(2桁)＋81(3桁)＋81(3桁)で。これが和の法則でしょうか。でも、途中で3桁の組み合わせはどうなるのかを考える時に使っているのは積の法則ですよね。ひとつの問題で和の法則も積の法則も使う、という問題もあるのですか？私はどちらかのみ使うという認識だったのですが…。
"nPrはnCrにr!をかけたもの"であり、連続の操作というのは樹形図を描いた時ーの繋がりのことなんですね。
自分のなかで互いが同時に起こらない、ということが最初に比べて理解出来てきていると思います。
ひとつの問題で和の法則も積の法則も使うことは普通にありえることです。
場合分けを行う必要があるのであれば必然的に和の法則は出てきます。
有り得るのですね、場合分けは和の法則、忘れないようにします。
質問をしたときより、PとC、積の法則と和の法則、それぞれの違いについて、理解が深まりました。
途中で色々と質問してしまいましたが、例題と共にひとつひとつ丁寧に教えていただき本当にありがとうございました🙇
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