数学
高校生

背理法です
青線の部分はなぜ整数ではダメで自然数なら良いのでしょうか

7 は無理数であることを証明せよ。ただし,nを自然数とするとき, n?が7の 基本 例題59 101 17 が無理数であることの証明 倍数ならば,nは7の倍数であることを用いてよいものとする。 【類九州大) 基本58 指針レ 無理数であることを直接証明することは難しい。そこで, 前ページの例題と同様 の複接がだめなら間液で背理法 2章 に従い「無理数である」 「有理数でない」を, 背理法 で証明する。 7 つまり,V7 が有理数(すなわち 既約分数 で表される)と仮定して矛盾を導く。 補定 2つの自然数 a, bが1以外に公約数をもたないとき, aとbは 互いに素 である …の (数学A参照)といい,このとき,4は既約分数である。 a b 解答 良い ある V7 が無理数でないと仮定すると,1以外に正の公約数をもた ない自然数a, bを用いて, /7=4 と表される。 V7 は実数であり, 無理数 でないと仮定しているから, 有理数である。 b このとき 両辺を2乗すると よって,α° は7の倍数であるから, aも7の倍数である。 例題の 「ただし書き」 を用 ゆえに, cを自然数として, a=7cと表される。 a=7b a=7b° の いている。 こと この両辺を2乗すると 0, ② から よって,6?は7の倍数であるから, bも7の倍数である。 ゆえに,aとbは公約数7をもつ。 これは,aとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する。 したがって,7 は無理数である。 a?=49c? の 76°=49c? すなわち 6ピ=7c? t くこれも,「ただし書き」 によ る。 T3+( 天モ 9) 命題と証明

回答

✨ ベストアンサー ✨

問題文の七の倍数の条件を使うためだと思われます!

過疎村

たしかに自然数じゃないと、与えられた条件が使えないのですが、
あくまでもこの段階で決まっているのは、√7が有理数ということだけなのに、√7が負の数という可能性がないというのを決めてよいのでしょうか

さっけん

なるほど……

さっけん

√7は明らかに正というのは自明だと思われます!
√7が正か負かと有理数か無理数かという議論は別物なので!

さっけん

有理数が無理数かを証明する問題ですから正であるか負であるかというのはあらかじめわかっているものと考えて良いと思います!

過疎村

分かりました!ありがとうございます!

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