Question

過疎村

背理法の問題です
青線の部分はなぜ整数ではなく自然数なのですか

V7 は無理数であることを証明せよ。 ただし, nを自然数とするとき, n°が7の
10
基本
例題59
V7 が無理数であることの証明
倍数ならば,nは7の倍数であることを用いてよいものとする。
【類九州大)
基本 58
指Tレ 無理数であることを 直接証明することは難しい。そこで、前ページの例題と同様
の接がだめなら関接で背理法
に従い「無理数である」 = 「有理数でない」 を, 背理法で証明する。
つまり,V7 が有理数(すなわち既約分数 で表される)と仮定して矛盾を導く。
相定 2つの自然数 a, bが1以外に公約数をもたないとき, aとbは 互いに素である
(数学 A参照)といい,このとき, は既約分数である。
a
解答
ある
V7 が無理数でないと仮定すると, 1以外に正の公約数をもた
ない自然数 a, bを用いて, V7= と表される。
a
/7 は実数であり,無理数
でないと仮定しているから,
このとき
両辺を2乗すると
よって, a° は7の倍数であるから, aも7の倍数である。
ゆえに,cを自然数として, a=7cと表される。
この両辺を2乗すると
0, ② から
よって,?は7の倍数であるから, bも7の倍数である。
ゆえに, aとbは公約数7をもつ。
これは,aとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する。
したがって,V7 は無理数である。
a=7b
α=76°
有理数である。
の
1例題の 「ただし書き」 を用
いている。
a=49c?
76°-49c? すなわち ぴ=7c" +
くこれも,「ただし書き」によ
る。
天モ)
検討
上の解答で示した背理法による証明法は, V2, ¥3, ¥5 などが無理数であることの証明にも用
いられる証明法である。 この場合
「n'がん(k=2, 3, 5) の倍数であればnもんの倍数である」
ーとを利用する。なお, 上の例題文のよっに, 「(*)を用いてよい」などと書かれていなければ、
(*)も証明しておいた方が無難である。
「白然数 nに対し, n*が7の倍数ならは, n は7の倍数である」ことの証明は, か、98 基本
例題56 と同様にしてできる。

背理法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ななな

整数で条件をつけると負の数も範囲に入るので√7は＞0なので根本的に話がおかしいからです

過疎村

細かいことで申し訳無いのですが、
√7 が無理数ということはわかっていないのに、√7は正の数であるということは前提として使ってよいのがなんだか腑に落ちません

ななな

そもそも√には正の平方根√aと負の平方根－√aがあります
例えば4の平方根は±2がありますが、この場合正の平方根が2、負の平方根が－2になります。
今回の設問では正の平方根についての記述でしたので、√7＞0である事が言えます

過疎村

ありがとうございます！