✨ ベストアンサー ✨
まず、その3枚目の写真の n と45, 63 の最小公倍数が3150になるかどうか、実際に自分の手で確かめてみることをおすすめします。
結果はならないのですが、大事なのはそこではなく、
＂最小公倍数がどのようにして求まるのかを自分で手を動かすことで再確認してみて頂きたいです。＂
以下の説明は、質問者様がその確認をされてから見て頂けると幸いです😌
以下、まず最小公倍数の求め方を簡単に復習した後、問題の解説でなぜ n はその２つなのかを説明致します。
手を動かしてみてお分かり頂けた通り、最小公倍数は
Ⅰ. 素因数分解する。
Ⅱ. 出てきた素因数を全てかける。ただし、同じ素因数は二度書かず、素因数の指数は＂最大＂のものに合わせる。
という Ⅰ, Ⅱ の手順で求まります。
しかし、このように文で書くと分かりにくさが増すと思うので、ここで具体例として、3枚目の写真の１つ目の n = 3^2 ･ 5^2 ･ 7 と 45, 63 の３つの最小公倍数を上の手順で求めてみます。
まずは手順 Ⅰ 。素因数分解します。
n = 3^2 ･ 5^2 ･ 7
45 = 3^2 ･ 5
63 = 3^2 ･ 7
次に、手順 Ⅱ 。出てきた素因数は 3, 5, 7 の３つですので、これらをかけ算するのですが、そのときに指数は＂最大＂のものに合わせましょう。
（例えば、5 は指数が最大のものは n に含まれている 5^2 ですよね。）
そのようにしてかけると、
3^2 ･ 5^2 ･ 7 = 1575
となります。よって、n = 3^2 ･ 5^2 ･ 7 と 45, 63 の３つの最小公倍数は、1575 と求まります。
では、2枚目の写真にて、n が
n = 2 ･ 3^2 ･ 5^2 と n = 2 ･ 3^2 ･ 5^2 ･ 7
の２つに限られることを説明致します。
まず、45 と 63 と n の３つの＂最大公約数＂は 9 なので、少なくとも n の素因数分解には 3^2 は含まれていないといけないことは分かりますね。
次に、最小公倍数について考えます。
45 と 63 と n の３つの最小公倍数が、3150になってほしいわけですよね。
3150は素因数分解すると、
3150 = 2 ･ 3^2 ･ 5^2 ･ 7
です。
先ほどの最小公倍数を求める手順を逆に考えると、
45 と 63 と n をそれぞれ素因数分解し、出てきた素因数を指数が最大のものに合わせてかけ算すると、この 2 ･ 3^2 ･ 5^2 ･ 7 にならなければいけないということです。
45 と 63 の素因数分解は、
45 = 3^2 ･ 5
63 = 3^2 ･ 7
であることを考えると、n を素因数分解した式にはどういった素因数が含まれていないといけないでしょうか。ここからはちょっとしたパズルみたいな感じですね🕺
結果が 2 ･ 3^2 ･ 5^2 ･ 7 になる為には、n にはまず、
2 と 5^2
の２つは絶対に含まれていないといけません。というのも、45 と 63 にこの２つは含まれていませんので。
あと、7 については 63 に含まれていますので、n には含まれていてもいなくてもどちらでも良いですね。
そして、上で述べた通り3^2 は最大公約数が 9 になる為に必ず含まれていることに注意すると、n としては
n = 2 ･ 3^2 ･ 5^2 と n = 2 ･ 3^2 ･ 5^2 ･ 7
の２つが考えられます。7 は含まれていてもいなくてもどちらでも良いので、含まれているかいないかでこの２通りがあるわけです。7 以外の2, 3^2, 5^2 に関しては上に述べた通りです。
ここまで来ますと、質問者様の3枚目の写真の n がなぜ間違いか、もうご自身で容易に分かるのではないかと思います。
1つ目の n は 2 が含まれておらず、2つ目の n には 5^2が含まれていませんね。
大変長くなりましたが、説明は以上になります。分かりにくい箇所や疑問点ありましたら、遠慮なくご質問ください！🙇♂️
いえいえ！それは本当によかったです！
応援してます！💪
丁寧にありがとうございます！とても分かりやすかったです✨理解できました！