数学
高校生

x+yの最大値の場合分けの理由を教えていただけませんか?

Z4|0を原点とする座標平面上の点 (x, y) が, 次の連立不等式で表される領域を動くとする。 (x+1)2+(y-1)ハ lat r>1 のとき, x, y, x+yの最大値をそれぞれrを用いて表せ。 ぷクドア(配点 40)
解答 解法の糸口 問題で与えられた連立不等式から、点(r, )の存在範(網域Dとする)がどのような図形であるかを把躍す る。その後,Dを図示して, xとyの最大値を調べればよい。 次に、x+yの最大値については、 x+y=Dh とおくことで、 傾き-1, y 切片をの直線と領城Dが共有点をもつ ようなよの最大値を求めればよいことがわかる。その際、直線が領域D内のどの点を通るときにまが最大となるか を、rの値で場合分けをして考える必要がある。 y平面上で、(x+1)*+(-1)=は点P(-1. 1) を中心とする半径が rの円 Cを表し、(xー1)+(y-1)= は点Q(1. 1) を中心とする半径が rの円Gを表す。 よって、 点(x, )の存在範囲を領城Dとすると,Dは 円Gの間または内部と、円 C;の間または内部の共通部分である。 さらに、PQ=2, r>1 より 4不等式(xーの)+-S (r> 0) の表す図形は、 中心が 点(e,),半径がrの円の間または 内部である。 0<PQくr すなわち 2円の半径の差)< (Ci, C の中心関の所離」<2円の半怪の和 であるから、C. C, は2点で交わる。 42つの円の位置関係 2つの円の半径をそれぞれ、 (rこr),中心聞の距離をdとする と、ーくd<ハ十めであるとき、 2つの円は2点で交わる。 一方 r+1)+r-1)ード x-1)+y-1)=D とおくと、D-より 4r=0 エ=0 のに代入して (y-1)=デー1 ドー1>0 より アー1-±-1 ア=1はア- であるから、C, C, の2つの交点の座標は (0, 1-ア-1)、(0, 1+ア) よって、この交点をそれぞれA. Bとおくと、 Dは次の関の斜部分 (境 界を含む)である。 1のとのを連立して、 C と C; の交 点の座標を求めている。 ここで、C と線分 PQの交点をCとおくと、 Cr-1. 1) である。 図から、点(x,)が点C(r-1, 1)に一致するとき、xは最大値r-1をと る。 また。点, 功が点B(0, 1+ア-)に一致するとき、 yは最大値 1+-Iをとる。
次に x+y=k(y=ーx+4) とおくと、3はy平面上で、 傾き-1, y切片まである直線を表す。 直線PBの傾きは (1-)0 であるから、点Bにおける円 C, の接線の傾きは 一 4円の接線は、接点を通る半径に乗 直である。 -声-1のとき 4傾きがm」(+0) の直線と乗直な 直線の傾きを」とすると -1 0<ア-IS1 すなわち 1<rS(2 のとき 間」間』=ー1 の傾き-1 B - 時 図より、直線3が、 点B(0. 1+-I)を通るとき、とは最大値 1+F-1をとる。 4点Bにおける円C, の投線の傾き が-1以下のとき、y切片は直線 のが点Bを通るときに最大値をとる。 ー高-1のとき 1<ア-I すなわち 2<rのとき 相き デー1 B C、 の類き -1 図より、直線のと円C、が接するとき、, kは最大値をとる。 このとき、 直 線3:x+yーk=0 と円C の中心P(-1, 1) との距離が、 円C、の半径r が-1より大きいとき、 y切片は に等しいため 4点Bにおける円C,の接線の傾き 直線のが円 C,と検するときに最大 値をとる。 4円Cの半径をr. 円Cの中心と直 r |-Er kが最大値をとるとき、>0であるから k=Er 線の距離をdとすると 以上より、オ+yの最大値は 1くrs2 のとき 1+-I <rのとき Cとが接するl=r 4点(p, g)と直線 ax+by+c=0 の距離は lap+bg +cl 9+ 置xの最大値r-1 yの最大値1+ー1 1<rs/Z のとき 1+-1 エ+yの最大値 /2<r のとき 2r 白分の留然を振い 減るう g

回答

✨ ベストアンサー ✨

質問者様は解答解説の中のx+yの最大値を求める部分の場合分け(ii)の図で、どこを通る時がy=-x+kの切片kが最大になるか分かっていますか?

もともと

C1C2の交点のy座標ですか?

点Bということでしょうか?
解答解説の図では分かり辛いので、半径rがもっと大きく2つの円の重なってる領域がもっと広い場合を考えたらおそらく分かりやすいと思いますが、点Bを通る時にkが最大にはなりません。

写真の赤線は点Bを通る時のy=-x+kです。
緑線は切片が最大になる点でのy=-x+kです。
見ての通り点Bを通る時が最大にはなりません。

なので
点Bが最大になる場合(i)
点Bが最大にならない場合(ii)
で場合分けが必要です。

もともと

なるほどです!
分かりました!自分でもやってみます🙇‍♀️

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