数学
高校生

数Ⅲの三角関数の極限で質問です。(1)の解説の一番最後の行で、なぜ1×1/2になるのかわかりません。
1/2はその前の行から出たと思うのですが、その前の1が、xを無限大に飛ばしているのになぜ1に収束するのかわかりません。誰か説明をお願いします。

4 三角関数の極限/ェ→0以外の場合 次の極限値を求めよ. (1) limVェ+3 sin (Vェ+2 -Vェ+1) エ→0 (滋賀県立大) sin.x (2) lim C→T I-π (城西大·理) sin 0 lim =1に結びつける 三角関数の極限の基本は, この公式に結びつけることである.そのた 0→0 0 めには,式変形をしたり, 文字を置き換えたりして, ●→0となる部分を作り出すことが必要である。 (1)の場合,見かけはェ→であるが, sin の中身Vェ+2-Vェ+1 は818 の不定形である.ここ が0に収束するか,まず調べてみるところである.もちろん, “分子を有理化”する。 (2)の場合,c→πのとき, ェーェ→0である.→πのままでは扱いにくいので, 0に近づく極限にするように置き換えるのが基本 である。-π=0とおけばよい。 ■解答 (z+2)-(エ+1) ェ+2 +/ェ+1 であることに注意して, 変形する。 1 Vェ+2 +Vェ+1 全z+2 -(z+1 Vェ+2 -/ェ+1 (1)(ェ+2 -Ve+1 = (ェ) 1 の分母·分子にVe+2 +Vz+1 を掛けて、分子を有理化する。 1 Vェ+3 sin(Vz+2-Vz+1)=Vェ+3 sin Vz+2 +/z+1 1 sin Vエ+2 +Vエ+1 Vェ+3 Vェ+2 +/ェ+1 【(2)の別解) 詳しくは,○6 で取り上げるが, 微分係数の定義に結びつけて求 めることもできる。 [解]f(z)=sinrとおくと, f(元)=0, f'(z)=cos. であるから, 1 『ェ+2 +/ェ+1 3 1+ Vェ+3 Vェ+2 +Vェ+1 VI I+/T (ょ- (ェ→8) 2 ここで, 2 1+ 1 1+ f(z)-f(x) 1 与式 = lim I-T したがって, lim①: エ→T 2 = f'(π)=cosπ=ー1 エ→0
数ⅲ 三角関数の極限

回答

✨ ベストアンサー ✨

t = 1/(√(x+2)+√(x+1)) と置いてみましょう。
x→∞ のとき、t→0 となるので、

lim[x→∞]
sin(1/(√(x+2)+√(x+1)))/(1/(√(x+2)+√(x+1)))
= lim[t→0] sint/t
= 1
となります。

りん

ありがとうございます!とてもよくわかりました

Tatsu 1126

それは良かったです!
補足ですが、t→0 よりも t→+0 と細かさを持った記述のほうが良いです。

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