数学
高校生
解決済み

159の(3)の1行目が分かりません
(1)からa₁=2、b₁=0←これです

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(2) 定数 an, b, を用いて, f® (x)%3 (anx+b»)e* (n=1, 2, 3, …)と 重要例題159 第n次導関数を求める (2) f(x)=x°e* とする。 (1) f(x) を求めよ。 (2) 定数 an, bn を用いて, f®(x)=(x+anx+bn)e* (n=1, 2 » すとき, an+1, bn+1 をそれぞれan, bn を用いて表せ。 (3) frm(x) を求めよ。 領横浜市 指針> (2)fm(x)=(x?+anx+b,)e*の両辺をxで微分する。 得られた式と, fa+(x)=(x?+an+1オ+6n+1)e* の係数をそれぞれ比較する。 (3) (2) で得られた漸化式から an, bnを求め, f®(x) の式に代入する。 解答 をえ。 4F(x)=x(x+2)e" としてもよいが、 幻を見 (1)f(x)=2xe*十x°e*=(x°+2x)e" (2) flm(x)= (x^+anx+bn)e* のの両辺をxで微分すると fn+1) (x)=(2x+an)e*+(x°+anx+b)e* のとする。 えてこの形とした。 4(x)} =(x+ax+b,ye +(x*+ax+b.)\et ={x°+(an+2)x+an+ba}e* また,①から fa+1) (x)%= (x°+an+1x+bn+1)e* ③の右辺の係数をそれぞれ比較して 3 40のnをn+1におきま える。 an+1=an+2, bn+1=a,+b。 (3) (1) から a=2, b」=0 (x)%3 (x+2x+0)e an+1-an=2 より, 数列 {an} は初項 a:=D2, 公差2の等差数| 初項を a, 公差をdとす。 列であるから と an=a+(n-1)d an=2+(n-1)-2=2n ー 0 よって bn+1=bn+2n 4bn+1=Dbntan bn+1-bn=2n より, 数列 (b.} は初項b、=0, 階差数列{2n} <数列 {an}は, 数列(5- の数列であるから, n>2のとき 階差数列。 n-1 b,=0+ 22k=2n(n-1)=n"ーn ガー1 くb,=b,+ Eas(n22 た=1 k=1 b.=0 であるから, これはn=1のときも成り立つ。 41°-1=0 ゆえに bn=n°ーn flm(x)%3 (x"+2nx+n'-n)e くすべての自然数nに て成り立つ。 したがって | (x)=(3x+5)e*とする。 59 (1) f(x) を求めよ。 き, an+1, bn+1 をそれぞれ an, bnを用いて表せ。 (3) fm(x)を求めよ。

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