数学
高校生

書き込みで見づらくて申し訳ありません。
(2)での変形がなかなか思いつかないのですが、コツなどあれば教えて頂きたいです。
自分で思ったのはcos^n-2x を登場させるためにcos^n-1xを部分積分の微分側にして、結果としてsin^m+2xが出てきてしまうけれど、sin^mxにして上手くいかせているのかなと思いました…

重要 例題237定積分と漸化式 (2) OOOO0 nを0以上の整数として, Im.n=\ sin"xcos"xdxとする。 m。 0 |次の等式を証明せよ。ただし, sin°x=cos°x=1 である。 (1) Im.n=In,m (2) Im.n- n-1 夜-4(n22) m+n p.390 基本事項 2, 重要218,236 針>(1) sin ーx=COSx, COs 2 cos(ー -x)=sinx [sinと cos が入れ替わる] に注目し, x=-tとおき換えて計算し,後で変数さをxに直す。 (2) sin"xcos"x=(sin"xcos.x)cos-1x として 部分積分法 を用いる。 更に、sin"+2xcos"-2x=sin"xcos"-?x- Isin"xcos"x から 同形出現。 ガー2 解答 0 x=ー --tとおくと dx=-dt 元 xとtの対応は右のようになる。 2 x 元 よって Im= sin"xcos"xdx t 0 2 0 cos"(-):(-1)dt=\} sin":xcos":xdx==/.m 2) n22のとき Ssin* 4ぎは確使 からやる x cos"x dx=\(sin"xcosx)cos" sinm+1x COS ) os xde ー1xdx= 、-1xdx m+1 (sin"+1xcos"ー!x Ssinm *(n-1)cos"-2x(-sinx)dx #ー m+1 sin+1 x COS m+1 -1文 カ-1 群+2 m+と xCos da の また Ssin*xcos""xdx=Ssin"xcos"-?a{-coss -Jsin"s x dx= 加+2 一2 XCOS -cos"x) -Jein"xcosx dx-\sin"xcos"xdx の の, のから (sin"xcos"xdx= Sinm*!xcos"-!x Ssin" n-1 m+n x cos"x dx= sin"xcos"-? xdx m+n 「sin"+1xcos"-1 slx1f+ カS sin"xcos"="xdx ゆえに sin"x cos"xdx= n-1( m+n Jo n-1Imn-2 したがって Im= m+n
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