✨ ベストアンサー ✨
(1)△ABDについて余弦定理から
BD²=2²+3²-2･2･3cosθ
⇔BD²=13-12cosθ
△BCDについて余弦定理から
BD²=1²+3²-2･1･3cos(180°-θ)
⇔BD²=10+6cosθ
以上から
13-12cosθ=10+6cosθ
⇔18cosθ=3
⇔cosθ=1/6
(2)sin²θ+cos²θ=1より
sin²θ=1-1/36
⇔sin²θ=35/36
⇔sinθ=√35/36 (∵0°<θ<90°)
よって
△ABD=1/2･2･3sinθ =√35/12
△BCD=1/2･1･3sin(180°-θ)=√35/24
∴求める面積は √35/12+√35/24=3√35/24=√35/8
(1)△AEFについて三平方の定理から
EF²=8²-(√10)²
⇔EF²=64-10
⇔EF²=54
△AEHについて三平方の定理から
EH²=10²-(√10)²
⇔EH²=100-10
⇔EH²=90
△EFHについて三平方の定理から
FH²=54+90
⇔FH²=144
△AFHについて余弦定理から∠FAH=θとすると
FH²=AF²+AH²-2･AF･AHcosθ
⇔144=64+100-160cosθ
⇔160cosθ=20
⇔cosθ=1/8
sin²θ=1-cos²θより
sin²θ=1-1/64
⇔sin²θ=63/64
⇔sinθ=3√7/8 (∵0°<θ<90°)
∴△AFH=1/2･8･10･sinθ
⇔△AFH=15√7
(2)△EFH=√54･√90･1/2
⇔△EFH=3√6･3√10･1/2
⇔△EFH=9√60･1/2
⇔△EFH=18√15
∴立体AｰEFHの体積は
18√15･√10･1/3
=6√(5･3･5･2)
=30√6
以上より
15√7･EP･1/3=30√6
⇔5√7EP=30√6
⇔EP=6√6/√7
⇔EP=42√6/7
(1)直線AOと△BCDとの交点をH、BからCDに引いた垂線とCDとの交点をGとすると、HはBGを2:1に内分する点(重心)である。
BG=√3/2 より
BH=√3/2･2/3=√3/3
△ABHにおいて三平方の定理から
AH²=1²-(√3/3)²
⇔AH²=1-1/3
⇔AH²=2/3
⇔AH=√6/3 (∵AH>0)
よって立体AｰBCDの体積は
1･(√3/2)･1/2･(√6/3)･(1/3)
=3√2/36
=√2/12
求める体積Vはこれの1/4なので、
V=√2/12･1/4
⇔V=√2/48
(2)√2/48=1･√3/2･1/2･r･1/3
⇔√2/48=√3r/12
⇔√2=4√3r
⇔r=√2/4√3
⇔r=√6/12
あとなぜHは重心と分かるんですか？
すみません、正しくは△EFH=9√15です。これを直せばその答えになるはずです(あと最後の有理化間違えてました)。
△AHB,△AHC,△AHDは、(Hをそのようにとったので)すべて同合な直角三角形になります。合同であるので、BH=CH=DHとなり、この結果からHは△BCDの外心であることがわかります。そして、△BCDは正三角形であるため、△BCH≡△CDH≡△DBHになります。よって、Hは重心であると言えます。
無事全部解決しました
ありがとうございます！
2問目の(2)の答えが3√42/7でした