一応答えは出たんですが、けっこう不安ですし間違ったことを教えたくないので、もし答えがあれば答えだけでよいので教えていただきたいです。
おはようございます！解答はありません！
すいません！解答のプロセスを知りたいだけなので、もしよろしければ送ってもらえると嬉しいです！
遅くなってしまい申し訳ないです。
少し光の加減で見にくいところがあるかもしれないです。
(2)の正式なやり方((1)で一般項を求めていないと仮定したときのやり方)は、数3の極限のところで、似たような考え方をする問題がよく入試問題でもありますね。それから、(1)の別解で使っている数学的帰納法はいわゆる人生帰納法ってやつです。n=lまでを全部仮定してしまうというやり方で少し特殊ですね。一般的な帰納法では、1つ手前を仮定しますが、2つ手前を仮定するものがあり、これを一昨日帰納法と言ったりして、同じように考えたら、これまでの全てを考えるところが「人生」だよね、みたいなことです。よく言われることでドミノ倒しで例えたら、1つ手前のやつが倒れることで次のやつが倒れて...を繰り返すのが普通の帰納法ですが、1つ手前の重さだけでは倒すのに足りないから、それまでのドミノの重みも加えて倒さないといけない、みたいな感じですかね。まあ、イメージとか名前はどうでもよくて、ポイントになるのは関係式にΣを使っている関係で、どうしても示そうと思ったら、a(k)だけじゃ足りないんですよね。だから、人生帰納法を使いました。
(3)は帰納法で(1)で一般項を求めていたら、(2)が要らなくていきなり普通に一般項を代入してやればよいのですが、出題者的には(2)からa(n)を求めてほしいのだと思います。いずれにせよ、一般項を入れたら部分分数分解の形に持ち込めますね。3つの部分分数分解はあまり出てこないかもしれませんが、分解のしかたを覚えておくとよいですね。
補足
帰納法でlを使ったのは、深い意味はなくて問題がシグマのところでkを使っているから、被るのを防ぐためです。
あと、(1)のS(n)-S(n-1)が一般項というのは、共通テストなんかでもよく問われる形で、今回はシグマで書かれているから分かりにくいかもしれないですが、大切な考え方だと思います。
それから、(3)は極限をとると1、すなわちkを大きくすると1に近づくというのが面白いところですし、理系数学ならそういう出題のしかたにされそうですね。
なければ、もう答えはできているので、答えを持ってないとコメントしてもらったら、間違えているかもしれないですが書いたものを送りますね。