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l=4.5cmのときに音が極大ということは、l=4.5cmのときの経路A(L(A)とする)と経路B(L(B)とする)の差は、強めあいの条件式からmを整数としてちょうどmλだと言えますよね。(もちろん、同じ音なので同位相)
つまり、mλ=L(A)-L(B)...①
です。
次に、l=25.5cmとしたときも極大と書いています。このとき、経路Aは何も変わっておらず、経路Bは先ほどと比べて42cm分だけ距離が増えているのはわかりますか？伸ばした分は25.5-4.5=21.0で、その往復分があるので21.0×2=42.0です。つまり、このときの経路BはL'(B)=L(B)+42となります。
このときの、経路AとBの差は強めあいの条件からちょうど(m-1)×λになっています。なぜなら、引き出したことで、Bの距離が稼げるようになり、距離の差が縮まったからです。小さくなるだけなら、m-2やm-3でも良いだろと思うかもしれないですが、もしm-2になるなら、それまでの間にm-1にあたる極大の場所がもう1ヵ所あるはずなので矛盾します。
したがって
(m-1)λ
=L(A)-L'(B)
=L(A)- {L(B)+42}
=L(A)-L(B)-42 ...②
であり、これに①を代入して
(m-1)λ=mλ-42
これを解けばλ=42と求まります。
1つ質問したいんですけど、この問題ってAの長さってもうこれ以上引っ張ることの出来ない最大の距離になっている設定ですか？
Aの長さは固定なので、そんなことを考える必要はありません。最大だろうと、最小だろうと、結局干渉で大切なのは経路の「差」です。
何回もすみません…なんか、(m－１)λと言う表現が分かりません….１回目の極大がmλ(m＝0)だったら、2回目の極大はmλ(m＝１)と言うふうにmの数学を1個ずつ増やしていくイメージなので、2回目の極大は(m＋１)λになると思うんですけど….もうちょっと、(m－１)λがなにを表しているか教えてください🙏
問題文ではBを引き出す前、最初AはBより長かったと書いています。例えばAが250cmで、Bが150cmだとしたら、経路差は100cmになりますが、この状態でBを4.5cm引き出すとBの距離9cm増えるので250-(150+9)=91cmとなり、経路差は小さくなります。更に、21cm引き出すと42cmBの距離が増えるので、250-(150+42)=58cmとなります。このように、Bを引き出せばその経路差はだんだん小さくなるので、波長は変わらないとして、その差に収まる波の数は少なくなっていきますよね。だから、数字を小さくしています。
訂正
250-(150+9+42)=49cmですね。
理解出来ました！ありがとうございます！
図