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(1)
図のようにAから垂線を引く(青線)と、△ABH、△ACHとも直角三角形から、三平方の定理を使って
AH²=AC²-CH²
AH²=AB²-BH² より、
5²-x²=7²-(8-x)²
→ 25-x²=49-64+16x-x²
→ 16x=40
→ x=5/2

AH²=5²-(5/2)²=25-25/4=75/4
AH=5√3/2
よって、
△ABCの面積=8×5√3/2÷2=20√3/2

Pの中心から各辺へ垂線を引く(赤線)と、△ABCの面積=△ABP(桃)+△BCP(紫)+△ACP(黄緑)となるので、円Pの半径をrとすると、
20√3/2=(r×8×1/2)+(r×7×1/2)+(r×5×1/2)
→ 20√3/2=1/2×r×(8+7+5)
→ r=√3

みるくぷりん

回答ありがとうございます。
簡潔にまとめられていて、スムーズに理解できました🙇

きらうる

(2)
写真のようにアルファベットをつける。D,E,Fは円とそれぞれの辺との接点を表す。
CD=aとすると、CD=CEから、CE=a、
AE=AC-CEから、AE=5-a またAE=AFからAF=5-a
DB=8-a とDB=FBから、FB=8-a
AB=BF+AFだから、
7=8-a+5-a
→ 2a=6
→ a=3 
よって、CD=CE=3、BD=BF=5、AE=AF=2 となる。

△PCDにおいて、
PD=√3、CD=3 だから
CP²=3²+(√3)²
CP=2√3 より、PD:CP:CD=1:2:√3
であることがわかる。

△PCD∽△QCG だから、QG=qとおくと、
CQ=2q、CG=√3q とおける。
PQ=Pの半径+Qの半径 だから、
PQ=√3+q 
PC=PQ+QC だから、
2√3=√3+q+2q
→ 3q=√3
→ q=√3/3

きらうる

Rの半径は、Qの半径と同じことをすれば求められます。
ルートが複雑になりますが、やり方は一緒です。
求められなければ。また追記してくださいな。

みるくぷりん

(3)挑戦してみます!
ありがとうございました🙇

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