Question

みるくぷりん

写真の問題の解き方がわかりません。
数学が苦手なので出来れば細かく教えてください🙇

AB=7, BC=8, CA=5 である
△ABCの内接円Pと, 辺BC, CAに
接する円をQとする。 また, 内接円Pと,
辺AB, BCに接する円をRとする。
A
7
5
P
(1) 内接円Pの半径を求めよ。
R
(2) 円Qの半径を求めよ。
B
(3) 円Rの半径を求めよ。 (有理化しなくてよい。)
8
C。

(1) J3
J3
3
221-3
25+、3

数学苦手 数学 三角形の内接円

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

(1)
図のようにAから垂線を引く(青線)と、△ABH、△ACHとも直角三角形から、三平方の定理を使って
AH²＝AC²-CH²
AH²＝AB²-BH²　より、
5²-x²＝7²-(8-x)²
→　25-x²＝49-64+16x-x²
→　16x＝40
→　x＝5/2

AH²＝5²-(5/2)²＝25-25/4＝75/4
AH＝5√3/2
よって、
△ABCの面積＝8×5√3/2÷2＝20√3/2

Pの中心から各辺へ垂線を引く(赤線)と、△ABCの面積＝△ABP(桃)+△BCP(紫)+△ACP(黄緑)となるので、円Pの半径をrとすると、
20√3/2＝(r×8×1/2)+(r×7×1/2)+(r×5×1/2)
→　20√3/2＝1/2×r×(8+7+5)
→　r＝√3

みるくぷりん

回答ありがとうございます。
簡潔にまとめられていて、スムーズに理解できました🙇

きらうる

(2)
写真のようにアルファベットをつける。D,E,Fは円とそれぞれの辺との接点を表す。
CD＝aとすると、CD＝CEから、CE＝a、
AE＝AC-CEから、AE＝5-a　またAE＝AFからAF＝5-a
DB＝8-a　とDB＝FBから、FB＝8-a
AB＝BF+AFだから、
7＝8-a+5-a
→　2a＝6
→　a＝3　
よって、CD＝CE＝3、BD＝BF＝5、AE＝AF＝2　となる。

△PCDにおいて、
PD＝√3、CD＝3　だから
CP²＝3²+(√3)²
CP＝2√3　より、PD：CP：CD＝1：2：√3
であることがわかる。

△PCD∽△QCG　だから、QG＝qとおくと、
CQ＝2q、CG＝√3q　とおける。
PQ＝Pの半径+Qの半径　だから、
PQ＝√3+q　
PC＝PQ+QC　だから、
2√3＝√3+q+2q
→　3q＝√3
→　q＝√3/3

きらうる

Rの半径は、Qの半径と同じことをすれば求められます。
ルートが複雑になりますが、やり方は一緒です。
求められなければ。また追記してくださいな。

みるくぷりん

(3)挑戦してみます！
ありがとうございました🙇