Question

さく

残りの部分のうち〜のところで、「基本的な公式を変数変換して積分する」とはどういう意味でしょうか。
また、m＞1の項は部分積分によって漸化式を作ってm=1に帰着するとはどういうことでしょうか。
教えてください。

楕円積分の前に, もっと簡単な積分をおさらいしておく、有理関数
多項式
多項式
arctan の組合せで書ける。詳しくは微積分の教科書)をご覧いただきたいが, お
およそ次のような順番で証明する2)まず R(r) を部分分数分解する:
R(z)の積分|R(z)dzは,有理関数,対数関数 log と逆正接関数
dim xteim
12
mj
h
mj
Cim
(2.2) R(z) = P(z)+2 2
+ 2 と
リーム+1 m=1((z-a,)+b})"*
j=1m=1(c-a;)"
ここで,P(x)は多項式,a, b, Cm, dpm, Ejm は実数,ム, le, m, は正の整数である.ゴ
チャゴチャ面倒になったように見えるが,要は各パーツが簡単に積分できるよう
に分解した,というのがアイディア.
多項式 P(z)は
ST S(りひ
京をのきさ
2n+1
J* dz =
(n:自然数)
n+1
sbe
という公式によって積分でき, 結果は多項式になる。
残りの部分のうちの m=1の項は, 基本的な公式3)
ハ+ 食館
de
: log (r-a),
ミ
C-a
de
S
+1
arctan x,
2.c dc
S?
= log(z?+1)
2+1
を変数変換して積分する. m>1の項は, 部分積分によって漸化式を作ってm
=1の場合に帰着する。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

詳しくは微積分の教科書をご覧いただきたい
やっかいなのは、emの項だけ。以下のURLのJmの漸化式のところです。

http://tau.doshisha.ac.jp/lectures/2009.calculus-I/html.dir/node130.html

有理関数 原始関数

さく

ありがとうございます。
3つの積分は既に変数変換されてある積分でしょうか。

Crystal Clear

3つの積分とはどれのことを指していますか？
J1やJmの部分積分に関しては、URL先の計算の通り、変数変換(置換積分)して計算されます。
それ以外の積分に関しては、変数変換(置換積分)はしなくてもできます。

さく

返信ありがとうございます。
logとarctanの3つです。

Crystal Clear

あなたが添付した画像の3つの積分の計算がわからない、ということですか？

さく

いえ、この積分は既に変数変換されている積分でしょうか。

Crystal Clear

m=1のやや複雑な積分計算は、置換積分で変形して簡単なこの公式の形にする、ということです。
だからこの公式は変数変換して簡単にしたあとの形と言えるでしょう。

もちろん、逆にこの公式を変数変換して、複雑な形にすることもできます。その場合は、変数変換する前の形とも言うことができます。

積分が得意な人はこのくらいの積分でわざわざ置換積分(変数変換)はしなくてもできます。

この問題では変数変換は本質的ではなくて、mに関する漸化式を立てて、m=1の積分に帰着させるところがポイントなのです

さく

ありがとうございます。m=1は納得できました。
m>1のときは、画像のようなことですか。
なかなか分からず申し訳ありません。。

Crystal Clear

細かく分けると3つです。
Jmは部分積分で漸化式を立ててJ1帰着させます。URLの先に書いてあります。

さく

分かりやすくありがとうございます。
画像について、赤矢印の変形が分かりません。
2枚目のような公式があるのでしょうか。

Crystal Clear

分かりにくければ、置換してください。

さく

理解出来ました。ありがとうございます。
m>1の時は、Jm-1を計算しないとJmを展開できないですよね、、？

Crystal Clear

そうですね。
例えばJ4が欲しければ、J1を漸化式に入れてJ2を求めて、さらに漸化式に入れてJ3を求めて、さらに漸化式に入れてJ4を得る感じです。だんだん式は複雑になりますが、この作業で原始関数は必ず求めることができます。

さく

ありがとうございます。本当に助かります、、
この定理のようなことで合ってますか？

Crystal Clear

まさにこの漸化式ですね。
a=0, b^2=A
としたものになっています。

さく

納得出来ました。
沢山ありがとうございます。