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イ木阿題111 最大公約数 最小公倍数と数の決定 (2)
o(A). (B), (C)を満たす3つの自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。 ただし,
aくらくcとする。
(A)a, b, cの最大公約数は6
B) 6とcの最大公約数は 24,最小公倍数は 144
C) aとbの最小公倍数は 240
4章
17
【専修大)
p.476 基本事項 [3, 基本110
針>前ページの基本例題110 と同様に,最大公約数と最小公倍数の性質 を利用する。
2つの自然数 a, bの最大公約数をg, 最小公倍数を1, a=ga', b=gbとすると
CHAC 1 a' と6'は互いに素
2 1=ga'b'
3 ab=gl
(A)から, a=6k, b=67, c=6m として扱うのは難しい(k, 1, m が互いに素である,とは
仮定できないため)。(B) から 6, c, 次に,(C) から aの値を求め,最後に (A) を満たすものを
解とした方が進めやすい。
このとき,b=246', c=24c'(bが, c'は互いに素でが<c)とおける。
最小公倍数について 246'c=144
T9AHO
これから6, c'を求める。
解答
『B)の前半の条件から,b=246', c=24c' と表される。
ただし,b', c' は互いに素な自然数で b'<c'.
『Bの後半の条件から
これとのを満たすが, c' の組は
の
246'c'=144 すなわち b'c'=6 8+( gb'c'=l 。
1+
(然自)(b=246', c=24c
ゆえに
(6, c)=(24, 144),(48, 72)
(A)から, aは2と3を素因数にもつ。
また,(C) において
240=2*-3-5
[1] b=24(=2°.3) のとき, aと24の最小公倍数が240 であ
a=2*-3-5
るあケ遠部O(最大公約数は 6=2·3
240=2*.3-5
[1] b=2°-3
[2] b=2*·3
これからaの因数を考え
禁自おる0
るようなaは
これは,a<bを満たさない。
いるす人分031
[2] 6=48(=2*.3)のとき, aと 48の最小公倍数が 240 であ
るようなaは
a=2°3·5 ただし (p=1, (2, 3, 14
る。
a<48 を満たすのはp=1の場合で,このとき 1) a=30
30, 48, 72 の最大公約数は6で, (A) を満たす。
以上から
以上もつ
の Sn
あ葉
(a, b, c)=(30, 48, 72)
に
も 方
(r) を満たす3つの自然数教の組(a
をす て求め上
ただし
約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
