✨ ベストアンサー ✨
一応答えは出たのですが、間違っていたら嫌なので答えを教えていただけると嬉しいです。
(2)
(1)で証明したことを使おうと考えられるかがポイントです。入試問題(特に図形問題)は前問が誘導になっているケースが多いです。
まず、求めたい∠CGDは(1)を使えば
*∠AED=∠CGD ...①
です。
そして与えられた∠CDE=20度という条件と、(1)で証明した三角形を見比べたら、△ADEの1つの角である∠ADEは(90度+∠CDE)=90+20=110度だとわかると思います。
ということは(1)より
*∠ADE=∠CDG=110度 ...②
となります。
また、△ADEの3つの角のうち * 以外の角である
∠DAEは45度(図より) ...③
です。
よって△ADEの内角の和は180度より②③から
180=45+110+∠AED
∠AED=35度 ①より∠CGD=35度です。
とりあえず(2)だけです。
(3)についてですが、模範解答は僕が予め解いた解き方とは異なる解き方なので、とりあえず僕の解答を送ります。
3) 最初から何をしたらいいのか戸惑う問題だと思います。まあ本番だったら確実に捨て問ですね。とにかくわかるところから進めていきます。
AC=14cmより正方形ABCDの1辺の長さは14/√2=7√2です。
四角形DEFGは正方形で面積が338㎠なので一辺の長さは√338=13√2です。
ここまでで手が止まると思います。手が止まったら条件を見落としていないか、前問で何か情報がないかです。
求めたい三角形は△ACGです。そのうちの1つの角∠ACGに着目し、∠ACDが45度で、∠DCGは(1)で求めたとおり∠DACと同じなので45度なので、ちょうど足して90度になります。このあたりはきちんと(1)終了段階で図に書き込んでおくと解きやすいです。
三角形の面積で直角が出てきたことは、「高さ」さえわかれば面積が出せるので(底辺ACは14cm)、すごく嬉しいことです。今回だと高さはCGになります。よって、ここからの目標はCGの長さを求めることです。
まだ使っていない条件として△CGFの面積があります。しかもこの三角形はCGを含んでいるので、これは確実に使えそうです。
一旦入りきらないので送ります。
三角形の面積を出す道具としては、直接求めるか面積比ですが、他のところの面積もほとんどわからない状態なので、直接底辺×高さ×1/2で求めることになりそうです。したがって、△CGFのどこかの頂点から高さとなる垂線を下ろします。求めたいCGから垂線を下ろすのが発想として自然だと思うのですが、これでやると計算が複雑になりすぎたので別の方針をたてました。もうひとつFGは13√2と求めているので、こいつが底辺になるよう、CからFGへ垂線を下ろしました(模範解答と同じようにH,Iをとる)。このとき、高さCIは
13√2×CI×1/2=204
CI=204√2/13
CIとEFは平行なので、HI=13√2となるので、CHはCI-HI=35√2 /13
ここで、DEの長さは13√2なので△CDEの面積は
13√2×35√2 /13×1/2=35
となります。
この三角形の面積を出したことで、何がよかったかというと、計算がやばくなってCGは直接出せなかったけれど、(1)よりCG=AEなので、△CDEの面積からDEを出せば、AEが14+DEで求められます。DEを底辺とみたいので、再びDから垂線を下ろします。このときの垂線の足をJとして、△CJDは直角二等辺三角形なので、求めたい高さJDは
7√2×1/√2=7となります。
したがって、
DE×7×1/2=35よりDE=10となります。
よって10+14=24が答えです。
解答は合同やら面積の引き算やらでごり押していますが、そんなことしなくても三平方の定理を使って求める方が自然な発想だと思います。かなり丁寧に解説したつもりですが、正直かなり難しいので、わからなければもう諦めるのもありだと思います。質問があれば聞きます。
この問題(2)(3)自体がおかしい。印刷物の解答(3)は間違えています。
どこらへんがおかしいのか教えていただけませんか？
申し訳ありません。間違えているのは俺でした。他の問題とごちゃ混ぜになりました。
解説、本当にありがとうございました。何回も解いて、スムーズに解解けるように頑張ります！
多分見ていないと思いますが、(3)で△CFGの面積は必要ありません。無くてもCGの長さは求められます。
この構図なら補角の問題にした方が良いと、個人の感想です。
ブドウくんさんの解答についての事ではありませんので、誤解の無い様に。
コメントありがとうございます。
(2) 25° (3) 168㎠
が正解です。