Question

りり

この問題が分かりません……
答えは3分の2√6です

0
辺の長さが8cmの
A
C
B

(2)図に示す立体において,
辺BCの中点をGとし, 辺OA上に点HをOH=GHとなるようにとる。点Aと
点Gを結び、点Hから線分AGに垂線をひき, 線分AGとの交点を1とする。
このとき,線分HIの長さを求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

拓👓

三平方の定理と相似をうまく活用しましょう。

GはBCの中点だから，BG=CG
△OBCは正三角形だから，OB=OC, ∠OBG=∠OCG
よって，2組の辺とその間の角が等しいので，
△OBG≡△OCG
合同な三角形の対応する角は等しいから，
∠OGB=∠OGC
これを∠OGB+∠OGC=180°に代入すると，
2∠OGC=180°
∠OGC=90°
よって，△OGCは直角三角形だから，三平方の定理より，
OG²+GC²=OC²
OG²=OC²-GC²
OG²=8²-4²=48
OG>0より，OG=4√3
AGも同様に，AG=4√3
よって，△GOAはOA=8, OG=AG=4√3の二等辺三角形であるから，底角は等しく，∠OAG=∠AOG
また，△HGOはOH=GHの二等辺三角形なので，底角が等しく，∠HOG=∠HGO
ここで，Hは辺OA上の点だから，∠AOG=∠HOGであり，結局，
∠OAG=∠AOG=∠HOG=∠HGO
となる。よって，2組の角が等しいので，
△GOA∽△HGO
相似な三角形の対応する辺の比は等しいから，
OH:AG=OG:OA
OH=AG×OG/OA=(4√3)²/8=6
HA=OA-OH=8-6=2
ここで，∠HAI=∠OAG=∠AOGに注意して，
GからOAに垂線をひき，線分OAとの交点をJとすると，∠HAI=∠AOG, ∠HIA=90°=∠GJOより，2組の角が等しいので，
△GOJ∽△AHI
相似な三角形の対応する辺の比は等しいから，
HI:GJ=HA:GO
HI=GJ×HA/GO=GJ×2/(4√3)=GJ×(√3)/6
△GOJは直角三角形だから，三平方の定理より，
GJ²+OJ²=GO²
GJ²=GO²-OJ²=(4√3)²-4²=32
GJ>0より，GJ=4√2
よって，
HI=(4√2)×(√3)/6=(2√6)/3

りり

返信できず申し訳ありませんでした😭

ありがとうございます！助かりました🙏