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この場合はどのような値をaに入れても負の数になることは無いので自然数になるという前提で話を進めます。
√120+a²が自然数となる時の値をAと置きましょう。すると√120+a²＝Aです。
ここで両辺を2乗すると。
120+a²＝A²です。
a²を右辺に移項します。
120＝A²－a²
そして因数分解します。
120＝(A+a)(A－a)です。
あとはかけて120になるペアを探したいのですがこのままだとペアの数が多くなってしまうので、次のように条件を絞ります。
(A+a)+(A－a)＝2A
これよりAとaはともに自然数なのでかっこ同士の和は偶数である必要があることが分かります。
この条件を踏まえた上で値を考えると。
(A+a)(A－a)＝120
(A+a)(A－a) 2,60 4,30 6,20 10,12 12,10 20,60 30,4 60,2 この8つが考えられます。
しかしさらに条件を絞ると
Aとaはともに自然数より(A+a)＞(A－a)であることが分かります。よって12,10と20,60と30,4と60,2は排除されます。よって答えは残った4ペアが正解であるのでそれぞれのペアに対するaの値は違うので答えは4通り出である。
ありがとうございます！