Question

mel

こちらの例題の証明で、「対偶を利用する」とあるのですが、一体どこで対偶を使っているのか分かりません。教えてください🙏

2        ーー
75

例題
ドー = 3 が無理数であることの証明         @④@⑨④〇〇
本                    る。 が3 の倍
提多と               抽     許数ならば、             な          ・
ある    れを利用して、 3 が無理数であるこ neri ーー
ー      基本 42

asr 人ぁ過ororron

Pa  背理法
数) 仮定して和子馬は このとき、ソきーァ (ァは有理
こうとすると,『「ア3 =ニァ の両辺を 2 乗して, 3ニゲ」とな

り, ここっG発
先に進めなくなってしまう。そこで。 自然数 g。5 を用いて 73ニち
(既約分数) と表されると仮定して 矛盾 を導く。……器            も

 

【p陳。

手理数でないと仮定ずる。

 

1

理
と
人

 
  
 
 
  
  

  

と   き            5
このとき" 3 はある有理数に等しいから, 1 以外に正の公約数  の計仙5 でまる9
をもたない 2 つの自然数 <。 6 を用      な6           約分して、gとらに1以
用いて, 3 一訪 と表される。 | 外の公約数がない分和
ゆえに             oニ35                     [im 2 つの整数c, 6 の最
大公約数が 1 であるとき,

リを 2 乗すると      のーー307 ……
                        oと5ちは 互いに素 である

て, ど は3の倍信2                   という (重学A参照)

し が 3 の倍数ならば, 6 も 3 の倍数であるから, んを自然数と | で 下線部分の命題が真で

して og三3を と表される。                         あることの証明には芝

これを ① に代入ずると                         個を利用する。   /
クウククの

3     oe30 |まけなわち「、 ぴー=3天
ようるで馬28 は 3 の倍数であるから, ヵも 3 の倍数であるs
妹倫<
刊用して2

 
 

ゆえに, のとの は公約数 3 をもつ。
これは, のとのが軸 以外に正の公約数をもたないこ とに双盾する。

したがって, は無理数である。

  
   
       

 
 

NFoRMATION 坦

| 例題で真であるとした師
| ぁる。また, 命題『が が偶数 (数)

| も真 である。 これらの命題が真であるこ
われるので, 覚えをでおこう。

ュ 3 の倍数である の 逆も真で
である」 および,  この人逆
ある という吾実はよく使

題「がが3 の倍数ならば, 7
ならば, 7 は偶数 (樹数)

と, および逆も真で

7 の悟数である1 は上真である。

2が7 の倍数ならば, は
とを証明せま。

命題「ヵは整数とする。 7
れを利用して, /7 が無理数であるこ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

下線部分を　対偶を使うと証明できるよ と言っているだけです。

a²が3の倍数ならば aも3の倍数
　↓【対偶】
aが3の倍数でなければ、a²は3の倍数ではない。

※ 命題の対偶が真であれば、命題は真であると言えます。

3の倍数ではない自然数a を a=3k±1 と表すと、

a² = (3k±1)² = 9k² ± 6k + 1 = 3(3k² ± 2k) + 1 となり 3の倍数ではないことが証明できる。
　※ 3で割った余りが、必ず1となる。というのは、整数問題でよく出て来ます。

従って 「a²が3の倍数ならば aも3の倍数」である。

ということ