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・bₙ₊₁-β=(bₙ-β)/3だけではダメな理由
整理するとbₙ₊₁=bₙ/3+2β/3
bₙ₊₁=bₙ/3+(2/3)ⁿ⁻¹+54と比較して
2β/3=(2/3)ⁿ⁻¹+54
となればよいはずだが、定数βだけだと(2/3)ⁿ⁻¹の項を作ることは決してできない。
そのため(2/3)ⁿ⁻¹の項を別に追加する必要がある。
一々作るのはやってらんないですよね。逆に考えましょう。
bₙ₊₁-β=○(bₙ-β)
で対応できるのはどんな漸化式ですか？
その答えは「定数βで作れるのは定数だけ」です。つまり、
bₙ₊₁=pbₙ+q(ただしp,qは定数)
の形の漸化式にしか使えません。なので、一々作って確かめる必要はなく、作る前から使えるかどうかはわかります。
さて、では応用について話しましょう。
今回の解法の考え方を他の問題に適用するには、問題に合わせて一部の手順を適切に変更することが重要です。この変更について考えると、どこが変更可能でどこが変更不可なのかをまず知っておくことが大事ですね。それはつまり、各手順の意味と目的とを把握することです。
目的を把握するにはゴールから逆順に辿るのが効果的で、わかりやすいです。
例を挙げましょう。
漸化式aₙ₊₁=paₙ+qをわざわざ
aₙ₊₁-α=p(aₙ-α)
に変形するのはなぜですか？
それは、等比数列の漸化式に変形するためです。逆に言えば等比数列などの限られた漸化式でなければ、基本的に漸化式から一般項を導くことができないからです。つまり、等比数列の漸化式に変形する目的は、一般項を導ける形の漸化式にするためです。
そして、実はこれはあらゆる漸化式の変形について言えることです。
漸化式の変形において一番重要なのは、
「一般項を導くことのできる漸化式に変形すること」です。
1~8行目からの一連の変形の目的を一言で説明するとしたら、
「扱いの厄介な定数項を数列の中に組み込んで吸収すること」
ですかね。
「βを使えば定数項を吸収できること」は知っておくと何かしら役に立つでしょう。定数項ってだいたい邪魔なものですからね。それを吸収してしまえば見通しはだいぶよくなるかと思います。
なるほど、ゴールから考えることが大切なんですね。何回か似たような問題をやって習得したいです。ご丁寧にありがとうございました😭
ありがとうございます！
他の問題にどう応用すればいいのでしょうか？公式？(この部分を別で足す、など、)はあるのでしょうか？一回bₙ₊₁-β=◯(bₙ-β)を作ってできなかったら考えるのでしょうか？それだと時間がだいぶロスしてしまう気がするのですが、どうするのでしょうか？