数学
高校生
解決済み

答えと詳しい解説お願いします🙇‍♂️🙇‍♂️

回答

✨ ベストアンサー ✨

[1]まずはx,yが実数という条件から範囲を絞っていく。
x,yが実数のときx²≧0, y²≧0⋯①
4x²+y²=1を変形すると、
x²=(1-y²)/4, y²=1-4x²であるから、①に代入すると、
(1-y²)/4≧0, 1-4x²≧0
となる。これらを解くと、
-1≦y≦1, -1/2≦x≦1/2
である。そもそものx,yの取りうる範囲がわかった。
次に、2x+y²の取りうる範囲を考える。
y²=1-4x²であるから、
2x+y²
=2x+(1-4x²)
=-4(x²-x/2)+1
=-4(x-1/4)²+4(1/4)²+1
=-4(x-1/4)²+5/4
ここで、-1/2≦x≦1/2であることを用いると、グラフは頂点(1/4, 5/4)を含む上に凸の放物線の一部であることがわかる。最小値をとるのは、軸から遠い方の端であるx=-1/2のときで、最小値を求めると、-4(-1/2)²+2(-1/2)+1=-1である。
よって、グラフより、とりうる値の範囲は
-1≦2x+y²≦5/4
となる。

拓👓

[2]も同様。
x,yが実数かつx²+y²=1であるから、
-1≦x≦1, -1≦y≦1である。このとき、
x²+4y
=(1-y²)+4y
=-(y-2)²+5
f(y)=-(y-2)²+5とおくと、-1≦y≦1の範囲では関数f(y)のグラフは右上がりの曲線であり、y=-1で最小、y=1で最大となる。これはグラフを描けばわかる。
よって、x²+y²=1よりy=-1のときx=0であり、このとき、x²+4yは最小値-4をとる。
y=1のときx=0で、最大値4をとる。

拓👓

[3]別のアプローチでやるしか。
(1)x+y=kとおく。
y=-x+k
①図的解法
領域D: x²+y²=2
と直線l:y=-x+kが共有点を持つような切片kについて考えると、kが最大になるのは直線lが点(1,1)で円x²+y²=2と接するときであり、このとき、最大値はx+y=2である。同様にして考えると、最小値は-2である。
②代数的解法
x²+y²=2にy=-x+kを代入すると、
x²+(-x+k)²=2
2x²-2kx+k²-2=0
このときxが実数であるようなkの範囲、すなわち2次方程式が実数解をもつようなkの範囲を考えると、
D/4=(-k)²-2(k²-2)
=-k²+4≧0
k²≦4
-2≦k≦2
よって、
-2≦x+y≦2

拓👓

(2)
-2≦x+y≦2であるから、
-2≦x+y≦0および0≦x+y≦2より
0≦(x+y)²≦4である。
よって、
0≦x²+2xy+y²≦4
このときx²+y²=2より
0≦2xy+2≦4
-2≦2xy≦2
-1≦xy≦1
あるいはあえてx²+y²=2より点(x,y)が半径√2の円になることから媒介変数表示すると
x=√2cosθ, y=√2sinθ (0≦θ≦2π)
よって、
xy=2sinθcosθ
=sin2θ
0≦θ≦2πすなわち0≦2θ≦4πで
-1≦sin2θ≦1より
-1≦xy≦1

🌧nam!🌧

ありがとうございます!質問なんですが、ピンクのマーカーで線を引いたところの不等式の変形はどうやるのでしょうか?お願いします🙇‍♂️

拓👓

-2≦x≦2を数直線で表して、0を境界として2つの部分に分けた感じです。
[-2→-1→0→1→2]

[-2→-1→0]と[0→1→2]
に分けます。

🌧nam!🌧

なるほど!理解できました👌
ちなみに2枚目の写真の(3)は分かりますか?
何度もすみません🙇‍♂️💦

拓👓

(3)
(x+y)²=x²+2xy+y²
このときx²+y²=2より
(x+y)²=2xy+2
よって
xy=-1+(x+y)²/2
したがって、
(x-1)(y-1)
=xy-(x+y)+1
=-1+(x+y)²/2-(x+y)+1
=(x+y)²/2-(x+y)
ここで、x+y=tとおくと、(1)より
-2≦x+y≦2すなわち-2≦t≦2であり、また
(x-1)(y-1)
=(x+y)²/2-(x+y)
=t²/2-t
=(t-1)²/2-1/2
-2≦t≦2およびグラフより
t=-2で最大値4をとり、
t=1で最小値-1/2をとる。

拓👓

なかなか難しかったですね。お疲れさまでした。全部自力でできるようになれたらいいですね。頑張ってください!

🌧nam!🌧

丁寧にありがとうございます🙇‍♂️
はい!頑張ります💪

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