K を体，K[X, Y ] を K 上の 2 変数多項式環，K[T ] を

数学

大学生・専門学校生・社会人

3年以上前

K を体，K[X, Y ] を K 上の 2 変数多項式環，K[T ] を K 上の1 変数多項式環とし、環の準同型写像 ψ:K[X,Y]→K[T]を，ψ(f(X,Y))=f(T^2,T^3)で定義します。
(X にT^2,Y にT^3 を代入する).
B = {a_0 + a_2T^2 + a_3T^3 + ··· + a_nT^n | n ≥ 0 a_0,a_2,a_3,...,a_n ∈ K} とおくとき
(すなわち，B を K-係数の T の多項式で，1 次の項の係数が 0 であるもの全体よりなる部分集合とおくとき)，
B は K[T] の部分環になることをどう示せばいいですか。

回答

Crystal Clear

3年以上前

Bがψのimageになっていそうなのでそれを示してもいいですが、単にBがK[T]の部分環であることを示すだけならψなど考えずに部分環の定義式をBが満たすことをcheckすればいいと思います。

準同型写像部分環

あめ 3年以上前

コメントありがとうございます！！checkというのはどう確かめたらいいのでしょうか。

Crystal Clear 3年以上前

環の定義の条件のひとつ、和に対して閉じていること、を示してみます。

Bに属する２つの元g(T),h(T)
g(T)=a_0+a_2T^2+a_3T^3++a_nT^n
h(T)=b_0+b_2T^2+b_3T^3+…+b_mT^m
に対して和(g+h)(T)は
(g+h)(T)=(a_0+b_0)+(a_2+b_2)T^2+(a_3+b_3)T^3+…+(a_n+b_n)T^n+b_(n+1)T^(n+1)+…+b_mT^m
となって、(g+h)(T)もT^1の項がない多項式となるのでBの元である。

これを環の他の定義の条件に対しても行います。
正直に言うと、部分環の定義式をBが満たすことは部分環の定義が分かっていればほぼ自明です。教科書なり講義ノートなりをきちんと読んで理解した方がいいです。