Question

ぴの

数II、常用対数の問題です。2、3枚目が解答なのですが、線を引いたところの意味が分かりません、、
どうしてこのように置けるのか教えていただきたいです。
またもし出来れば(１)だけで良いのでその先の解答の意味も教えて頂きたいです。

we393   次の問いに答えよ。
(1) 1ogz3 が無理数であることを証明せよ。

) (0 を用いて Ioeg6 が無理数であることを証明きま。
(3) (2) を用いて logs4 が無理数であること を証明せよ。

解 答 編 105

> すなわち有理数である
logz6 =log,
よって

log。6 が
① の右

2十log。3 =1+ log。3
log。3 SAOZs6 一1 が/。。 ①
有理数ならば 1og。6 一1 は有理数である。
       辺は有理数であるが.,  (1) より左辺は無理
数である。これは矛圧している。

したがって. log。6 は無理数である。
) 1og。4 が無理数でない, すなわち有理数である

と仮定する。

log。4      2
IOge4 = log。6 が log。6

 

 

 

 

2
メ                        524そま4か
すなわち       log。6     1o語4            ②
log。4 が有理数ならばーー _ は有理数である。
log。4

② の右辺は有理数であるが, (2②) より左辺は無理
数である。 これは矛盾しでいる。
したがって, log。4 は無理数である。

常用対数 数学ii 数ii

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

MMMM.

(1)の解答の大まかな流れとしては、最終的に示すのがlog₂3が無理数であることなので、『もしlog₂3が有理数だったとしたら』と仮定してそこから矛盾を導くという背理法を用いた証明になっています。解答に日本語をもう少し足して説明すると、

log₂3が有理数であるとすると、有理数は解答のように二つの自然数の割り算の形で表される
⇩
log₂3=m/n(mとnは相異なる自然数)･･･❶
の形で表せる
⇩
❶の式を変形すると、
(2のm/n乗)=3となるので、両辺をn乗すると、
2ᵐ=3ⁿ･･･❷
⇩
ここで❷の式は左辺が偶数、右辺が奇数という等式になっており、数学的に成り立たない(矛盾している)ので、このような式が導けるおおもとである『log₂3が有理数である』という仮定が間違いであることになる。よって、結果として『log₂3は有理数ではない』つまり『log₂3は無理数である』

といった感じになります。

Answer 2

MMMM.

他の設問については、(2)は式変形から(1)で示したことが使える形を作って証明し、さらに(3)は(2)で示したことを使って証明するといったように、一つ手前の設問の答えが次の設問を解くヒントになるようになっています。ここはもう一度自分で手を動かして考えてみてください。その上で分からないところがあれば追って質問してください。

ぴの

丁寧にありがとうございます！
MMMM.様の解説を聞いてから解いてみたら、すごくわかりました！ありがとうございました！