Question

イモ

整数の性質の問題で、チソの部分がわかりません。
17は4x+7yで出る数字ではないのに解説の線を引いてあるような法則を適用してもいいものなのでしょうか？④の各値に11を加えた値はpにならないというのは一体どういうことでしょうか？

2) 末郎さんと花子さんは, 切手の金額の種類について調べている。

 

 

 

 

太郎 : 1 円2 円3 円5円. ……など様々な金額の切手があるようだけ
ど, 過去には4 円切手や 7 円切手も発売されていたようだね。
他子 : 1 円切手があればすべての郵便料金を支払えるけど, 例えば, 4円
切手と5 円切手だけだと支払いできない郵便料金はあるのかな。
太郎 : 4円切手が枚と5 円切手がッ枚だと, 支払える郵便料金は 4x十5y
と表されるから,この1次式が表せない値を調べてみればいいんじゃない。
ME語規2もは方程式
4z十5yッテニ
が 0 以上の整数解 (x。y) をもたないようなの値を求めることと
同じね。
内郎とりあえず, ヶ, ッの値とそれに対応した 4z十5y の値を表にしてみ
ると, 次のようになるよ。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

芝天症20gH5ツ   ァ|?ヶ| 4十5y
          010   0     9  上2
を         0  4    の員訓  3
0 1  5    112  14
| 0   8     0 13  15
1   及
10

 

 

 

 

 

 

 

便軸5 となる G⑦ に対して| サ | すると,
pFなるな 以下同様にすれば 9=| シス| の
せることがわかる
7 to

| (3) 4円切手と7円切手で支払うことができない郵便料金のうち最大値は

| |ソタ| 円であぁる。また, 4円切手と 7 円切手をともに1枚以上使う場合には,
「 の

  

ない郵便料金の最大値は | チツ | 円でぁる。

SI、〈 〈 、。。

NN よって   与えられた表より, 支払えない郵便料金は

!      -ュ四 2円, き円, 6円, 7円, 1円
|     の6 種類である。

(9 。 4z+7ニカ (な,は0以上の整数)              1
とする。ッー0, 1 2, 3 のときのヶの値どの値の対応を表にすると。

 

 

 

 

 

 

 

                             

 

 

 

 

 

 

次のようになる。
=0) =1) =2) 0=9
| み  |か  も2リリ
ION   0li4| |9|a1
1  1|18
2    『 『
3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ー18. 19, 20, 1 電となる 6% の に和対して*の値を1だけ大き
で 9 24, 25 -

1 3 6円9円, 10円, 18円,17円 …⑨⑧

ともに1枚以上使う場合, 支払えな

⑧の各値に 11 円を加えて ?
」 20円21円 24円 58円

くすると,/ の値は 11 だけ大きくなる。

 

A 値ほはぁ6  値にならない。

 

ァの値を 1 だけ大きくすると,

4z填7y は 4 だけ大きい数を表す。
(2の考え方をつかんでいれば, 連続
する4整数が現れるまで, 4x+7y の

、値を具体的に調べるという方針が

立つ。

EE至

*。yの値がともに1 以上の整数の
場合の x。ッ>, ヵの表は, (3)の前半
で求めた表の *、y の値をすべて1
だけ大きくしたものになる。このと
き, のの値はすべでて11 だけ大きく
なるから, ④の名値に 11 を加えた

整数の性質

Answer 1

拓👓

4x+7y=p (x,yは0以上の整数)
とするとき，
d≠pとなるdの値の条件は
d≠4x+7y，すなわち，
4x+7y=d
となる0以上の整数の組(x,y)が存在しないことである。
ここで，d≠pすなわち4x+7y=dが0以上の整数解(x,y)をもたないとき，
x,yが1以上ではd+11もpにならない。
すなわち，
4x+7y=d+11
は1以上の整数解(x,y)をもたない。
今からこれを証明する。
式を変形すると，
4x+7y-11=d
4x+7y-(4+7)=d
4(x-1)+7(y-1)=d ⋯(※)
ここで，仮定より4m+7n=dは0以上の整数解(m,n)をもたないから，(※)式を満たす0以上の整数の組(x-1, y-1)も存在しない。
したがって，
4x+7y=d+11
を満たす1以上の整数の組(x,y)は存在しない。
よって，x,yが1以上のとき，d+11もpにならないことが示せた。